Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Cono Sur • 2020


Problema 1
Ari y Beri juegan un juego con un mazo de $2020$ cartas. Cada carta tiene un número entero desde $1$ hasta $2020$ y hay exactamente una carta con cada número. Ari elige una carta del mazo con el número $a$ y la quita del mazo. Beri ve la carta que sacó Ari, elige otra carta del mazo con el número $b$ y la quita. A continuación Beri escribe en el pizarrón exactamente uno de los trinomios $x^2-ax+b$ o $x^2-bx+a$, a su elección. Este proceso se repite hasta que todas las cartas fueron quitadas. Si al finalizar el juego todos los trinomios escritos en el pizarrón tienen sus dos raíces enteras, entonces Beri gana el juego. Si no, gana Ari. Demostrar que Beri tiene una estrategia ganadora, es decir, Beri siempre puede ganar sin importar cómo juegue Ari.

Problema 2
Dados $2021$ enteros positivos distintos no divisibles por $2^{1010}$, demostrar que siempre es posible elegir $3$ de ellos, digamos $a$, $b$, y $c$, tales que $\left |b^2-4ac\right |$ no sea un cuadrado perfecto.

Observación: $|x|$ representa el valor absoluto de $x$.

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $AC<BC$ y $\omega$ la circunferencia que pasa por $A$, $B$, y $C$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $F$ un punto en la recta $AB$ tal que $CA=CF$ y sea $E$ un punto en la recta $BC$ tal que $EB=EF$. La recta $AM$ interseca a $\omega$ en el punto $D$ (diferente de $A$). La recta $DE$ interseca a la recta $FM$ en $G$. Demostrar que $G$ pertenece a $\omega$.

Problema 4
Considerar un triángulo acutángulo escaleno $ABC$. Considere los puntos variables $D$ y $E$ sobre las semirrectas $AB$ y $AC$ (con origen en $A$) tales que el simétrico de $A$ en relación a la recta $DE$ está sobre el lado $BC$. Las circunferencias de diámetros $AD$ y $AE$ se intersecan nuevamente en el punto $P$, distinto de $A$. Encontrar el lugar geométrico del punto $P$ al variar el segmento $DE$.

Problema 5
Se tiene una pila con $15$ fichas sobre una mesa. En cada paso, Pedro escoge una pila con $a>1$ fichas, la divide en dos pilas con $b\geq 1$ y $c\geq 1$ fichas, y escribe en la pizarra el producto $abc$. Él continua hasta tener $15$ pilas con $1$ ficha cada pila. Determinar todos los valores posibles para la suma final de los números en la pizarra.

Problema 6
Un tablero cuadrado de $4 \times 4 $ se llama brasuca si verifica todas las condiciones siguientes:
  • cada casilla tiene uno de los números $0, \: 1, \: 2, \: 3, \: 4,$ o $5$;
  • la suma de los números de cada fila es $5$;
  • la suma de los números de cada columna es $5$;
  • la suma de los números de cada diagonal de cuatro casillas es $5$;
  • el número escrito en la casilla superior izquierda del tablero es menor o igual que los otros números del tablero;
  • al dividir el tablero en cuatro cuadrados de $2 \times 2$, en cada uno de ellos la suma de los cuatro números es $5$.
¿Cuántos tableros brasucas hay?