Problema 1
Masli tiene $2$ dados, uno azul y otro blanco, donde cada dado tiene un total de $2020$ caras, con los números del $1$ al $2020$. Masli lanza los $2$ dados al mismo tiempo y escribe en el pizarrón el máximo de los dos dados.
¿De cuántas formas puede encontrarse la configuración final de los dados de manera tal que el número escrito por Masli sea par?
Problema 2
Un entero positivo es
pandémico si al sumar los cuadrados de sus cifras y repetir esta operación suficientes veces obtenemos el número $1$. Por ejemplo, $1900$ es pandémico, ya que $1900\to 82\to 68\to 100\to 1.$ A los números pandémicos $n$ que cumplen que $n+1$ también es pandémico se los llama números
maradonianos. Demostrar que existen infinitos números maradonianos.
Problema 3
Mili y Lola juegan el siguiente juego por turnos. Empieza Mili, escribiendo una permutación de los números del $1$ a $n$, con $n$ entero positivo fijo mayor que $1$. En su turno, cada jugadora escribe una secuencia de números que no haya sido escrita todavía tal que se cumpla alguna de las siguientes dos condiciones:
- $\mathbf{(a)}$ La secuencia es una permutación de la secuencia que escribió la jugadora en el turno anterior.
- $\mathbf{(b)}$ La secuencia se obtiene al eliminar un número de la secuencia que escribió la jugadora en el turno anterior.
Por ejemplo, si Mili escribe $4123$, Lola puede escribir $3124$ o $413$. La jugadora que no pueda escribir una secuencia pierde. Determinar, para cada $n$, que jugadora tiene estrategia ganadora.
Problema 4
Sea $ABCD$ un rombo. En los lados $AB$ y $AD$ se marcan los puntos $E$ y $F$, respectivamente, tales que $AE=DF$. Las rectas $BC$ y $DE$ se cortan en $P$, y las rectas $CD$ y $BF$ se cortan en $Q$. Demostrar que $P$, $A$ y $Q$ pertenecen a una misma recta.
Problema 5
La ciudad Nlogonia tiene $2048$ personas. Cuando se ordena a las personas de manera creciente por la cantidad de dinero que tienen, la $n-$ésima persona tiene $n$ veces la cantidad de dinero que tiene la más pobre. En cierto momento específico, todos los ciudadanos de Nlogonia deciden hacer lo siguiente: cada quien reparte equitativamente la mayor parte posible de su riqueza entre todos los ciudadanos de Nlogonia (incluído él mismo) y da lo que sobre a la ciudad vecina Ncubonia.
Sabemos que a la cantidad de dinero de la persona más pobre de Nlogonia es un número impar. Determinar la cantidad de dinero total que se dio a la ciudad Ncubonia.
Problema 6
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que$$6f(f(n))=5f(n)-n$$para todo $n\in \mathbb{N}$.
Problema 7
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo otrocentro es el punto $H$. La circunferencia que pasa por los puntos $B$, $H$ y $C$ vuelve a intersecar a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección del segmento $DE$ con $HB$ y $HC$, respectivamente. Se consideran los puntos $X$ e $Y$ (distintos de $A$) que están sobre las rectas $AP$ y $AQ$, respectivamente, de manera que los puntos $X$, $A$, $H$ y $B$ están sobre una misma circunferencia y los puntos $Y$, $A$, $H$ y $C$ están sobre una misma circunferencia.
Demostrar que las rectas $XY$ y $BC$ son paralelas.
Problema 8
Los enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ satisfacen $$1<a_1<a_2<\ldots <a_n<2\cdot a_1.$$Sea $m$ la cantidad de factores primos distintos de $a_1a_2\ldots a_n$. Demostrar que:$$(a_1a_2\ldots a_n)^{m-1}\geq (n!)^m.$$
Problema 9
En un tablero de $m\times n$ los vértices de los bordes izquierdo y derecho del tablero están pintados de color rojo, mientras que los vértices de los bordes superior e inferior del tablero están pintados de color azul, los vértices de las esquinas tienen ambos colores. En cada casilla del tablero se dibuja una de las diagonales, que se usarán como "puentes" entre los vértices. Mateo quiere llevar su autito del Fofopoly de un lado al otro del tablero, usando los puentes existentes. Demostrar que Mateo puede elegir un color y un vértice sobre alguno de los bordes del tablero, de manera que sea posible cruzar el tablero usando los puentes y llegar un vértice del mismo color del lado opuesto del tablero.
Problema 10
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sea $E$ la intersección de sus diagonales. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $CD$, respectivamente, y sea $H$ el ortocentro del triángulo $BEC$. Sean $P$ en la recta $AB$ y $Q$ en la recta $CD$ tales que $H\hat{M}Q=H\hat{N}P=90^\circ$. Si $O$ es el circuncentro de $ABCD$, demostrar que $PQ \perp OH$.