Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2020 • Nivel 1


Problema 1
Ignacio tiene una hoja de papel. La puede cortar en $6$ pedazos o en $8$ pedazos, a su elección. Luego, en cada etapa, puede elegir uno de los pedazos existentes y cortarlo en $6$ pedazos o cortarlo en $8$
pedazos.
a) Decidir si de esta manera Ignacio puede tener, después de alguna etapa, exactamente $24$ pedazos
de papel.
b) Decidir, si de esta manera Ignacio puede tener, después de alguna etapa, exactamente $32$ pedazos
de papel.
Si la respuesta es no, explicar por qué y si es sí, indicar cómo debe realizar los cortes

Problema 2
En el triángulo isósceles $ABC$ sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $AC$, Respectivamente, tales que las rectas $BE$ y $CD$ se cortan en $F$. Además, los triángulos $AEB$ y $ADC$ son iguales y tienen $AD=AE=10$ y $AB=AC=30$. Calcular $\frac{[ADFE]}{[ABC]}$.

Aclaración: $[ABC]$ denota el área de la figura $ABC$.

Problema 3
En el pizarrón están escritos los $18$ números enteros desde $1$ hasta $18$. Determinar la menor cantidad de números que hay que borrar para que entre los números restantes no haya dos tales que su suma sea un cuadrado perfecto.

Problema 4
Ana y Beto juegan al siguiente juego. Ana escribe cuatro enteros consecutivos de tres dígitos. Beto elige tres de los cuatro números de Ana y calcula su suma. Si el número que obtiene se puede escibir como producto de tres enteros positivos mayores que $1$, gana Beto. En caso contrario, gana Ana. Determinar si Ana puede elegir los cuatro números para ganar con certeza.

Problema 5
En el pizarrón hay dibujado un polígono de ocho lados. Mili debe escribir un número entero entre $1$ y $16$, sin repeticiones, en cada uno de sus lados y en cada uno de sus vértices. A continuación, para cada lado, Mili calcula la suma de los números escritos en sus dos vértices más el número escrito en ese lado. Obtiene así $8$ resultados. El objetivo es que esos $8$ resultados sean iguales entre sí. Denominamos $S$ al número igual al resultados de las $8$ sumas. Determinar el mayor y el menor valor posible de $S$ y, para cada uno de esos dos, dar un distribución de $16$ números en el polígono con los que se obtiene ese valor de $S$.

Problema 6
a) Nico debe elegir $10$ números enteros positivos (distintos); a continuación, Uriel elige $6$ de estos números y los suma. Si el resultado es múltiplo de $6$, Uriel gana y si no, pierde. Determinar si Nico puede elegir los $10$ números para que Uriel le sea imposible ganar.

b) Nico debe elegir $11$ números enteros positivos (distintos); a continuación, Uriel elige $6$ de estos números y los suma. Si el resultado es múltiplo de $6$, Uriel gana y si no, pierde. Determinar si Nico puede elegir los $11$ números para que Uriel le sea imposible ganar.

En cada caso, si la respuesta es afirmativa dar un ejemplo y en caso contrario explicar el por qué.