Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2020 • Nivel 2


Problema 1
Fede debe elegir $50$ números enteros distintos, desde $1$ hasta $100$ inclusive de modo que su suma sea igual a $2900$. Determinar cuál es la menor cantidad de números pares que puede haber entre los $50$ números que elija Fede.

Problema 2
Sea $n$ un entero positivo. Se tienen $n$ colores, $n\geq 1$. Cada uno de los números enteros entre $1$ y $1000$ se quiere pintar con uno de los $n$ colores de modo que cada dos números diferentes, si uno divide al otro tengan colores diferentes. Dar el menor número $n$ para que esto sea posible.

Problema 3
Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle ABC=105^\circ$. En el interior del paralelogramo existe un punto $E$ tal que el triángulo $BEC$ es equilátero y $\angle CED=135^\circ$. Sea $K$ el punto medio del lado $AB$. Calcular la medida del ángulo $\angle BKC$.

Problema 4
Juli tiene un mazo de $54$ cartas y le propone a Bruno el siguiente juego. Juli ubica las cartas en una fila, algunas boca arriba y las demás boca abajo. Bruno puede hacer repetidas veces el siguiente movimiento: elige una de las cartas y da vuelta esa carta y sus dos vecinas (las que estaban boca arriba las pone boca abajo y las que estaban boca abajo las pone boca arriba). Bruno gana si mediante este procedimiento logra que todas las cartas queden hacia arriba. En caso contrario gana Juli. Decidir cuál jugador tiene estrategia ganadora y explicarla.

Nota. Cuando Bruno elige la primera o la última carta de la fila, da vuelta solo dos cartas. En todos los otros casos da vuelta tres cartas.

Problema 5
Alrededor de una circunferencia están escritos $20$ números enteros positivos distintos. Alex divide cada número por el número vecino, recorriendo la circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, y anota los restos que obtiene en cada caso. Teo divide cada número por el número vecino, recorriendo la circunferencia en el sentido contrario al de las agujas del reloj, y anota los restos. Si entre los $20$ números que anotó, Alex obtuvo sólo dos restos distintos, determinar la cantidad de restos diferentes que obtendrá Teo.

Problema 6
Hallar todos los enteros $n>1$ para los que es posible escribir en las casillas de un tablero de $n\times n$ los números enteros desde $1$ hasta $n^2$, sin repeticiones, de modo que en cada fila y en cada columna el promedio de los $n$ números escritos sea un número entero.