Problema 1
Sofía ubica los dados sobre una mesa como se muestra en la figura, juntando caras que tienen el mismo número en cada dado. Ella da vueltas alrededor de la mesa sin tocar los dados. ¿Cuál es la suma de los números de todas las caras que no puede ver?
Nota. En todo dado los números de las caras opuestas suman $7$.
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Problema 2
Pablo escribió la lista de todos los números de cuatro cifras tales que el dígito de las centenas es $5$ y el dígito de las decenas es $7$. Por ejemplo, $1573$ y $7570$ están en la lista de Pablo, pero $2754$ y $571$ no.
Calcular la suma de todos los números de la lista de Pablo.
Nota. Los números de la lista de Pablo no pueden empezar con cero.
Problema 3
Una hormiga despistada hace el siguiente recorrido: comenzando en el punto $A$ va $1\text{ cm}$ al norte, después $2\text{ cm}$ al este, a continuación $3\text{ cm}$ al sur, luego $4\text{ cm}$ al oeste, de inmediato $5\text{ cm}$ al norte, continúa $6\text{ cm}$ al este, y así sucesivamente, finalmente $41\text{ cm}$ al norte y termina en el punto $B$. Calcular la distancia entre $A$ y $B$ (en línea recta).
Problema 4
María tiene un tablero de $6×5$ con algunas casillas sombreadas, como en la figura. Ella escribe, en algún orden, los dígitos $1$, $2$, $3$, $4$ y $5$ en la primera fila y luego completa el tablero de la siguiente manera: mira el número escrito en la casilla sombreada y escribe el número que ocupa la posición indicada por la casilla sombreada como último número de la fila siguiente, y repite los demás números en las primeras cuatro
casillas, siguiendo el mismo orden que tenían en la fila anterior.
Por ejemplo, si escribió $2$ $3$ $4$ $1$ $5$ en la primera fila, entonces como en la casilla sombreada está el $4$, el número que ocupa el cuarto lugar (el $1$) lo escribe en la última casilla de la segunda fila y la completa con los restantes números en el orden en que
estaban. Queda: $2$ $3$ $4$ $5$ $1$.
Luego, para completar la tercera fila, como en la casilla sombreada está el $3$, el número ubicado en el tercer lugar (el $4$) lo escribe en la última casilla y obtiene $2$ $3$ $5$ $1$ $4$. Siguiendo de la misma manera obtiene el tablero de la figura.
Mostrar una manera de ubicar los números en la primera fila para obtener en la última fila los números $2$ $4$ $5$ $1$ $3$.
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Problema 5
Sobre una mesa hay varias cartas, algunas boca arriba y otras boca abajo. La operación permitida es elegir $4$ cartas y darlas vuelta. El objetivo es obtener todas las cartas en el mismo estado (todas boca arriba o todas boca abajo). Determinar si es posible lograr el objetivo mediante una secuencia de operaciones permitidas si inicialmente hay:
a) $101$ cartas boca arriba y $102$ boca abajo;
b) $101$ cartas boca arriba y $101$ boca abajo.