Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Mayo • 2020 • Nivel 2


Problema 1
Decimos que un número entero positivo es súper-impar si todos sus dígitos son impares. Por ejemplo,
$1737$ es súper-impar y $3051$ no lo es. Hallar un entero positivo par que no se pueda expresar como suma
de dos números súper-impares y explicar por qué no es posible expresarlo de esa manera.

Problema 2
a) Determinar si existen enteros positivos $a, b$ y $c$, no necesariamente distintos, tales que
$a+b+c=2020$ y $2^a+2^b+2^c$ es un cuadrado perfecto.
b) Determinar si existen enteros positivos $a, b$ y $c$, no necesariamente distintos, tales que
$a+b+c=2020$ y $3^a+3^b+3^c$ es un cuadrado perfecto.

Problema 3
Se tiene una caja con $2020$ piedras. Ana y Beto juegan a retirar piedras de la caja, alternadamente y
comenzando por Ana. Cada jugador en su turno debe retirar un número positivo de piedras que sea
capicúa. El que logre dejar la caja vacía gana. Determinar cuál de los dos tiene una estrategia ganadora,
y explicar cuál es esa estrategia.
Nota. Un entero positivo es capicúa si se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha.
Por ejemplo $3, 22, 484$ y $2002$ son capicúas.

Problema 4
Sean $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la
bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$).
Determinar el área del triángulo $ABC$ si $PM=1$ y $MC=5$.

Problema 5
Decimos que un entero positivo n es circular si es posible colocar los números $1, 2, …, n$ alrededor de
una circunferencia de tal manera que no haya tres números adyacentes cuya suma sea múltiplo de $3$.
a) Demostrar que $9$ no es circular.
b) Demostrar que todo entero mayor que $9$ es circular.