Archivo de Enunciados • Competencias de OMAForos • OMA Foros Open • 2021


Problema 1
En cada casilla de un tablero de $5\times 6$ se quiere escribir un número entero positivo. ¿Es posible hacerlo de modo que la suma de los números de cada fila y la suma de los números de cada columna sean números primos? Si la respuesta es sí, mostrar una manera de lograrlo; si es no, explicar por qué es imposible.

Problema 2
Charo le pidió a Uli que escriba un dígito del $0$ al $9$ en cada casilla de un tablero de $8\times 8$, con la condición de que para cualquier casilla del tablero, la suma de los dígitos escritos en sus casillas vecinas debe ser igual a $11$.
Charo afirma que una vez que Uli hizo esto ella puede adivinar con certeza, sin mirar el tablero, la suma de los 64 dígitos que escribió Uli. ¿Es cierto lo que dice Charo? Explicar por qué.

Aclaración: Dos casillas se consideran vecinas si son distintas y tienen un lado en común. No son vecinas las que solamente comparten un vértice.

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo con $\widehat{A}=90^\circ$. Se marcan los puntos $D$ y $E$ de forma tal que $BCDE$ es un rectángulo que no se superpone con el triángulo $ABC$ y cumple que $BC=2CD$. Sea $M$ el punto medio de $DE$. Demostrar que $B\widehat{A}M=M\widehat{A}C$.

Problema 4
Sean $a,b,c,d,e,f$ seis números enteros tales que los números$$a \cdot (b-c+d-e+f)\qquad \text{y}\qquad f\cdot (a-b+c-d+e)$$son ambos negativos (menores que $0$). Demostrar que el número $a\cdot f$ también es negativo.

Problema 5
Dos jugadores, $A$ y $B$, junto con otras $2021$ personas forman un círculo, de modo que $A$ y $B$ no queden en posiciones consecutivas. $A$ y $B$ juegan por turnos alternadamente, empieza $A$. Una jugada consiste en tocar a una de las personas que se encuentra a su lado, la cual debe salir del círculo. Gana el jugador que logre sacar del círculo a su oponente.
Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora, describir dicha estrategia y explicar por qué jugando de ese modo se asegura ganar siempre.

Aclaración: Cuando una persona sale del círculo, las que quedan lo "cierran", de modo que nunca quedan huecos entre personas.

Problema 6
Fiebre debe escribir una lista de $1012$ enteros positivos distintos, de modo que se cumpla la siguiente condición: si se suman cuatro números que están en posiciones consecutivas en la lista de Fiebre, el resultado siempre es múltiplo de $4$. Una vez hecha la lista, Fiebre mira cuál es el mayor de los $1012$ números que escribió; este número es su puntaje.
Determinar el mínimo valor posible del puntaje de Fiebre. Para el valor hallado, indicar cómo puede escribir la lista y explicar por qué es imposible obtener un puntaje menor.

Problema 7
En el triángulo $ABC$, sea $L$ el punto del lado $BC$ tal que $AL$ es bisectriz del ángulo $\widehat{A}$. Sea $D$ el punto medio de $AL$ y sea $E$ el pie de la perpendicular a $AB$ trazada por $D$. Si $AC=3AE$, demostrar que $LC=LE$.

Problema 8
Determinar si existe algún entero positivo de $2021$ dígitos que cumpla las siguientes dos condiciones:
  • Al menos tres de sus dígitos son iguales a $5$.
  • La suma de todos sus dígitos es igual al producto de todos sus dígitos.


Problema 9
Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales $ 2^{n-1}\cdot n+1$ es un cuadrado perfecto.

Problema 10
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y $B\widehat{A}C=60^\circ$. La mediatriz de $BC$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $E$ y $F$, con $F$ en el mismo semiplano que $A$ con respecto a $BC$. Sea $E'$ el simétrico de $E$ con respecto a la recta $BC$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $CE'$ y $FA$. Demostrar que el circuncentro del triángulo $PBC$ está sobre la recta $AC$.

Aclaración: La circunferencia circunscrita de un triángulo es aquella que pasa por sus tres vértices. El centro de esta circunferencia se llama el circuncentro del triángulo.

Problema 11
Sea $n$ un entero positivo. Inicialmente en el pizarrón están escritos los números $0,1,2,\ldots ,n-1,n$. En cada paso, Francesco elige un número del pizarrón que sea igual al promedio de otros dos números que están escritos en el pizarrón y lo borra. Continúa haciendo esto hasta que sea imposible hacer más pasos. Determinar, para cada valor de $n$, cuál es la mínima cantidad de números que pueden quedar escritos en el pizarrón al final del proceso.

Problema 12
Inicialmente en la pantalla de la computadora está escrito el polinomio $x-2$. Cada vez que se oprime la tecla ENTER, la computadora eleva al cuadrado el polinomio que está en pantalla y le resta $2$. (Por ejemplo, si el polinomio inicial fuera $x^2+3$, luego de oprimir la tecla ENTER en la pantalla quedaría el polinomio $x^4+6x^2+7$).
Sea $k$ un entero positivo. Calcular el coeficiente correspondiente a $x^2$ del polinomio que queda en la pantalla luego de oprimir $k$ veces la tecla ENTER.

Aclaración: Un polinomio es una expresión de la forma $P(x)=a_dx^d+\ldots +a_2x^2+a_1x+a_0$. Sus coeficientes son los números $a_d,\ldots ,a_2,a_1,a_0$; el coeficiente correspondiente a $x^2$ es $a_2$.

Problema 13
Sea $n\geq 2$ un entero positivo. En el pizarrón está dibujado un polígono regular de $2n$ lados. Santino pinta $n$ vértices de color violeta, y Otto pinta los restantes $n$ vértices de color naranja. Ahora Santino escribe una lista con las $\binom{n}{2}$ distancias entre cada par de puntos violetas, en orden creciente (de repetirse una distancia, la escribe tantas veces como se repita). Luego, Otto escribe una lista de la misma forma, pero con los puntos naranjas.
Demostrar que las listas de Santino y Otto son idénticas.

Problema 14
Sea $P$ un polinomio de coeficientes enteros tal que $P(0)=0$. Supongamos que no existe ningún entero $d>1$ que divida a $P(n)$ para todo entero $n$. Demostrar que existen infinitos enteros positivos $k$ tales que el máximo común divisor de todos los números de la forma $P(n+k)-P(n)$, con $n$ entero, es igual a $k$.

Problema 15
Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que satisfacen$$f(xf(y)-f(x))=2f(x)+xy$$para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$.

Problema 16
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $A\widehat{C}B=A\widehat{D}B=90^\circ$. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $P$; las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $Q$. Sea $E$ el simétrico de $D$ con respecto a $AB$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $QAE$ y $APB$ se cortan por segunda vez en el punto $X$. Si $M$ es el punto medio de $XP$, demostrar que $A\widehat{P}B=A\widehat{M}X$.