Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Torneo de las Ciudades • Torneo de las ciudades 2020-2021 • Octubre 2020 • Nivel Juvenil


Problema 1
Diremos que una circunferencia corta a un rectángulo de modo apropiado si corta a cada lado del cuadrilátero en dos puntos interiores distintos. Determinar si para cada cuadrilátero convexo existe por lo menos una circunferencia que lo corta de modo apropiado.

$4 \; PUNTOS$

Problema 2
Diremos que un par de enteros positivos distintos es lindo si su media aritmética y su media geométrica son ambas enteras. Determinar si es verdadero que para cada par lindo existe otro par lindo con la misma media aritmética. (Los pares $(a,b)$ y $(b,a)$ se consideran el mismo par.)

Nota: Si $x$ e $y$ son enteros positivos, su media aritmética es $\frac{x+y}{2}$ y su media geométrica es $\sqrt{xy}$.

$7 \; PUNTOS$

Problema 3
Ana y Beto juegan al siguiente juego. En cada turno, Ana Ie dice un número entero y Beto escribe o bien el número que acaba decir Ana, o bien la suma del número que acaba de decir Ana con todos los números ya escritos en el pizarrón. Determina si Ana puede asegurarse de lograr que en algún momento haya entre los números escritos en el pizarrón:
$a)$ cien copias del número $5$. $\;\;\;\;$ $3 \; PUNTOS$
$b)$ cien copias del número $10$. $\;\;\;\;$ $4 \; PUNTOS$

Problema 4
Llamamos $X$-pentominó a una cruz formada por $5$ cuadraditos de $1\times 1$. Determinar si es posible recortar $9$ $X$-pentominós de un tablero de $8\times 8$, si no es necesario recortar siguiendo las líneas de la cuadricula.

$7 \; PUNTOS$

Problema 5
Determina si existen $100$ enteros positivos distintos tales que el cubo de uno de ellos es igual a la suma de los cubos de los $99$ restantes.

$8 \; PUNTOS$

Problema 6
Hay dos mesas redondas, cada una de ellas tiene $n$ duendes sentados alrededor de ella. Cada duende tiene exactamente dos amigos y son los que están sentados junto a él, uno a su derecha y el otro a su izquierda. Un duende bueno quiere sentar a todos los duendes alrededor de una sola mesa redonda de modo que cada par de vecinos sean amigos. Sus poderes mágicos le permiten hacer que cualesquiera $2n$ pares de duendes se transformen en pares de amigos (los duendes de cada pareja pueden ser de la misma mesa o de mesas distintas) Sin embargo, él sabe que la hechicera maligna puede romper $n$ de esas nuevas amistades. Determinar para qué valores de $n$ el buen duende puede lograr su objetivo, no importa lo que haga la hechicera.

Mayor: $7 \; PUNTOS$
Juvenil: $10 \; PUNTOS$

Problema 7
Se tiene un cuadrilátero convexo tal que no hay tres de sus lados con los que se pueda formar un triángulo. Demostrar que:
$a)$ Uno de sus ángulos es menor o igual que $60°$. $\;\;\;\;$ $8 \; PUNTOS$
$b)$ Uno de sus ángulos es mayor o igual que $120°$. $\;\;\;\;$ $8 \; PUNTOS$