Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • EGMO • 2021


Problema 1
El número $2021$ es fantabuloso. Si para algún entero positivo $m$, alguno de los elementos $\{m,2m+1,3m\}$ es fantabuloso, entonces totos los elementos de dicho conjunto son fantabulosos. ¿Esto significa que el número $2021^{2021}$ es fantabuloso?

Problema 2
Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ tales que la ecuación$$f(xf(x)+y)=f(y)+x^2$$se cumple para todos los números racionales $x$ y $y$.

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo con ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz exterior del ángulo $\angle BAC$ con las alturas del triángulo $ABC$ desde $B$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en los segmentos $EC$ y $FB$, respectivamente, tales que $\angle EMA=\angle BCA$ y $\angle ANF =\angle ABC$. Demuestre que los puntos $E$, $F$, $M$ y $N$ están sobre una misma circunferencia.

Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $D$ un punto arbitrario en el lado $BC$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $BI$ interseca a $CI$ en el punto $E$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $CI$ interseca a $BI$ en el punto $F$. Demuestre que la reflexión de $A$ por la recta $EF$ está en la recta $BC$.

Problema 5
Un plano tiene un punto especial $O$ llamado origen. Sea $P$ un conjunto de $2021$ puntos en el plano que cumple las siguientes dos condiciones:
  • (i) no hay tres puntos de $P$ sobre una misma recta,
  • (ii) no hay dos puntos de $P$ sobre una misma recta que pasa por el origen.
Se dice que un triángulo con vértices en $P$ es gordo si $O$ es un punto interior de dicho triángulo. Encuentre la mayor cantidad de triángulos gordos que puede haber.

Problema 6
Determine si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación$$\left \lfloor \frac{m}{1}\right \rfloor +\left \lfloor \frac{m}{2}\right \rfloor +\left \lfloor \frac{m}{3}\right \rfloor +\cdots +\left \lfloor \frac{m}{m}\right \rfloor =n^2+a$$tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m, n)$ con $m$ y $n$ enteros positivos.