Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Centroamericana y del Caribe • 2021


Problema 1
Una terna ordenada de números primos $(p,q,r)$ es parcera si cumple que $p$ divide a $q^2-4$, $q$ divide a $r^2-4$ y $r$ divide a $p^2-4$. Encontrar todas las ternas parceras.

Problema 2
Sean $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ un punto sobre $AB$ tal que $CD$ es paralela a la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sean $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$, y $F$ la intersección de $BC$ con el circuncírculo de $ADC$ distinta de $C$. Finalmente, sea $G$ la intersección de la recta $AB$ y la bisectriz interna del ángulo $\angle DCF$. Demostrar que $E$, $G$, $F$ y $C$ están sobre una misma circunferencia.

Problema 3
En un tablero de $2021\times 2021$ casillas coloreamos algunas casillas de negro de tal forma que si ponemos un ratón en el centro de cualquier casilla del tablero este puede caminar en línea recta en alguna dirección (arriba, abajo, izquierda o derecha a lo largo de columnas o filas) y salir del tablero sin pisar ninguna casilla negra (distinta de la inicial si esta es negra). ¿Cuál es la máxima cantidad de casillas que pueden ser coloreadas de negro?

Problema 4
En una reunión hay $2021$ personas. Se sabe que hay una persona que no tiene ningún amigo y otra persona que tiene un sólo amigo. Además se cumple que, dadas $4$ personas cualesquiera, al menos $2$ de ellas son amigas. Demostrar que en la reunión hay $2018$ personas tales que todas son amigas entre sí.

Aclaración: Si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$.

Problema 5
Sea $n\geq 3$ un entero y sean $a_1,\ldots ,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el menor y $M$ es el mayor de ellos. Se sabe que para cualesquiera tres enteros distintos $1\leq i,j,k\leq n$, si $a_i\leq a_j\leq a_k$, entonces $a_ia_k\leq a_j^2$. Demostrar que$$a_1\cdots a_n\geq m^2M^{n-2}$$y determinar cuándo se da la igualdad.

Problema 6
Sean $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y $M$ el punto medio de $AC$. Sea $P$ (distinto de $B$) en el segmento $BC$ tal que $AB=AP$. Sean $D$ la intersección de $AC$ con el circuncírculo de $ABP$ distinta de $A$, y $E$ la intersección de $PM$ con el circuncírculo de $ABP$ distinta de $P$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $AP$ y $DE$. Si $F$ es el punto sobre $BC$ (distinto de $P$) tal que $KF=KP$, demostrar que $C$, $D$, $E$ y $F$ están sobre una misma circunferencia.