Archivo de Enunciados • Listas de problemas • Entrenamiento IMO • 2021


Problema 1
Sea $ABC$ un triángulo. Una circunferencia que pasa por $B$ y $C$ intersecta las rectas $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. Las proyecciones de los puntos $B$ y $E$ sobre $CD$ se denotan $B’$ y $E’$ respectivamente. Las proyecciones de los puntos $D$ y $C$ sobre $BE$ se denotan $D’$ y $C’$ respectivamente. Demostrar que los puntos $B’,D’,E’,C’$ son concíclicos.

Problema 2
Sea $n=1234567891011...99100101$.
a) Hallar los primeros tres dígitos de $\sqrt{n}$.
b) Calcular la suma de los dígitos de $n$.
c) Demostrar que $\sqrt{n}$ es irracional.

Problema 3
Demostrar que si $a,b,c$ son números complejos tales que $$(a+b)(a+c)=b$$ $$(b+c)(b+a)=c$$ $$(c+a)(c+b)=a$$ entonces $a,b,c$ son números reales.

Problema 4
Versión 1. Sea $n$ un entero positivo, y $N=2^n$. Determinar el menor número real $a_n$ tal que, para todo $x$ real, $$\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}}\leq a_n(x-1)^2+x.$$ Versión 2. Para todo entero positivo $N$, determinar el menor número real $b_N$ tal que, para todo real $x$, $$\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}}\leq b_N(x-1)^2+x.$$

Problema 5
Hallar todos los $n\in \mathbb{Z}$ tales que $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ es racional.

Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo y $D,E,F$ puntos tales que:
i) $B$ y $E$ están separados por la recta $AC$,
ii) $D$ y $C$ están separados por la recta $AB$,
iii) $A$ y $F$ no están separados por la recta $BC$,
iv) Los triángulos $ADB$, $CEA$ y $CFB$ son semejantes.
Demostrar que
a) los triángulos $BDF$ y $FEC$ son semejantes;
b) los segmentos $AF$ y $DE$ tienen el mismo punto medio.

Problema 7
Consideramos cualquier tablero rectangular con un número finito de filas y columnas, que tienen escrito un número real $a(r,c)$ en la casilla de la fila $r$ y la columna $c$. Un par $(R,C)$, donde $R$ es un conjunto de filas y $C$ es un conjunto de columnas, se dice un par de ensilladura si se satisfacen las dos condiciones siguientes:
(i) Para cada fila $r’$ existe $r\in R$ tal que $a(r,c)\geq a(r',c)$ para todo $c\in C$
(ii) Para cada columna $c’$ existe $c\in C$ tal que $a(r,c)\leq a(r,c')$ para todo $r\in R$.
Un par de ensilladura $(R,C)$ se llama par minimal si para cada par de ensilladura $(R’, C’)$ con $R'\subseteq R$ y $C'\subseteq C$, se tiene que $R'=R$ y $C'=C$.
Demostrar que cualesquiera dos pares minimales contienen el mismo número de filas.

Problema 8
Sea $n$ un entero positivo. Hallar el número de permutaciones $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ de la sucesión $1,2,\ldots ,n$ que satisfacen$$a_1\leq 2a_2\leq 3a_3\leq \ldots \leq na_n.$$

Problema 9
En el interior de una circunferencia de centro $O$ se consideran $1200$ puntos $A_1,A_2,...,A_{1200}$ tales que para todos $i,j$ con $1\leq i<j\leq 1200$ los puntos $O$, $A_i$ y $A_j$ no son colineales. Demostrar que existen puntos $M,N$ en la circunferencia con $M\widehat{O}N=30°$, tales que en el interior del ángulo $M\widehat{O}N$ hay exactamente $100$ de los puntos considerados.

Problema 10
Consideramos el cuadrilátero convexo $ABCD$ y los puntos $M$ de $AB$ y $N$ de $CD$ tales que $$\frac{AM}{BM}=\frac{DN}{CN}=k.$$ Demostrar que $BC$ es paralela a $AD$ si y solo si $MN=\frac{1}{k+1}AD+\frac{k}{k+1}BC$.

Problema 11
Los lados de un triángulo tienen longitudes $a,b,c$. Demostrar que $$(-a+b+c)(a-b+c)+(a-b+c)(a+b-c)+(a+b-c)(-a+b+c)\leq \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).$$

Problema 12
Dado un entero positivo $k$ demostrar que existe un primo $p$ tal que se pueden elegir enteros distintos $a_1,a_2,...a_{k+3}\in \{1,2,...,p-1\}$ tales que $p$ divide a $a_ia_{i+1}a_{i+2}a_{i+3}-i$ para todo $i=1,2,...,k$.

Problema 13
Tres estudiantes escriben en el pizarrón, uno a continuación del otro, un cuadrado de dos dígitos. El número de $6$ dígitos que se obtuvo de este modo es también un cuadrado.
Hallar el número de $6$ dígitos.

Problema 14
Hallar los polinomios de coeficientes reales $P(X)$ tales que $$P(x)\cdot P(2x^2-1)=P(x^2)\cdot P(2x-1)$$ para todo $x\in \mathbb{R}$

Problema 15
Dos jugadores $A$ y $B$ juegan en un pizarrón que inicialmente contiene $2020$ copias del número $1$. En cada ronda, el jugador $A$ borra dos números $x,y$ del pizarrón, y luego el jugador $B$ escribe uno de los números $x+y$ y $|x-y|$ en el pizarrón. El juego finaliza cuando al completar una ronda ocurre una de las siguientes cosas:
(1) uno de los números en el pizarrón es mayor que la suma de todos los restantes números;
(2) en el pizarrón solo hay ceros.
El jugador $B$ debe darle a $A$ tantas galletas como números hay en el pizarrón. El jugador $A$ desea obtener la mayor cantidad posible de galletas, mientras que el jugador $B$ quiere dar la menor cantidad posible. Determinar el número de galletas que recibirá $A$ si los dos juegan de manera óptima.

Problema 16
Para cada primo $p$ existe un reino de $p$-landia que consiste de $p$ islas numeradas $1,2,…,p$. Dos islas distintas numeradas $n$ y $m$ están conectadas por un puente si y solo si $p$ divide a $(n^2-m+1)(m^2-n+1)$ Los puentes pueden pasar uno por encima de otro, pero no cruzarse. Demostrar que hay infinitos valores de $p$ para los cuales en $p$-landia hay dos islas que no están conectadas por una cadena de puentes.

Problema 17
Sea $ABCD$ un rectángulo. Consideramos los puntos $E$ de $CA$, $F$ de $AB$, $G$ de $BC$ tales que $DE\perp CA$, $EF\perp AB$ y $EG\perp BC$. Resolver en el conjunto de los números racionales la ecuación $AC^X=EF^X+EG^X$

Problema 18
Un número natural es bueno si se puede escribir como suma de dos naturales consecutivos y también como suma de tres naturales consecutivos. Demostrar que:
a) $2001$ es bueno pero $3001$ no es bueno;
b) el producto de dos números buenos es bueno;
c) si el producto de dos números es bueno entonces al menos uno de ellos es bueno.

Problema 19
En el plano hay $n\geq 6$ círculos $D_1,D_2,\ldots ,D_n$ disjuntos dos a dos de radios $R_1,R_2,\ldots ,R_n$. Para cada $i=1,2,\ldots ,n$ se elige un punto $P_i$ del círculo $D_i$. Sea $O$ un punto arbitrario del plano. Demostrar que$$OP_1+OP_2+\ldots +OP_n\geq R_6+R_7+\ldots +R_n$$(un círculo contiene a la circunferencia del borde).

Problema 20
Sea $A$ el conjunto de todos los polinomios en tres variables $x,y,z$ con coeficientes enteros. Sea $B$ el subconjunto de $A$ formado por todos los polinomios que se pueden expresar como $$(x+y+z)P(x,y,z)+(xy+yz+zx)Q(x,y,z)+xyzR(x,y,z)$$ con $P,Q,R\in A$. Hallar el menor entero no negativo $n$ tal que $x^iy^jz^k\in B$ para todos los enteros no negativos $i,j,k$ que satisfacen $i+j+k\geq n$

Problema 21
Sea $A$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ con la propiedad de que para todos $x,y$ reales, si $x+y\in A$ entonces $xy\in A$. Demostrar que $A=\mathbb{R}$.

Problema 22
Sean $A,B,C,D$ puntos que no están en un mismo plano y: $$AB=BD=CD=AC=\sqrt{2}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=a.$$ Demostrar que:
a) Existe un punto en el segmento $BC$ que equidista de $A,B,C,D$
b) El ángulo entre $AD$ y $BC$ es $\frac{3}{2}$ del ángulo entre los planos de los triángulos $ABC$ y $BCD$.
c) El cuadrado de la distancia de $A$ a $DC$ es $\frac{7}{6}$ del cuadrado de la distancia de $A$ al plano del $BCD$.

Problema 23
Los vértices $A,B,C,D$ de un cuadrado son exteriores a una circunferencia de centro $M$. Sean $AA’,BB’,CC’,DD’$ tangentes a la circunferencia. Suponga que los segmentos $AA’,BB’,CC’,DD’$ son lados consecutivos de un cuadrilátero $p$ que tiene una circunferencia inscripta. Demostrar que $p$ tiene un eje de simetría.

Problema 24
Sea $P$ un punto de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$. Sean $D,E,F$ los simétricos de $P$ con respecto a las bases medias del triángulo $ABC$ paralelas a $BC,CA,AB$ respectivamente. Denotamos $\omega_A,\omega_B,\omega_C$ a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADP,BEP,CFP$ respectivamente. Denotamos $\omega$ a la circunferencia circunscrita del triángulo formado por las mediatrices de los segmentos $AD,BE,CF$.
Demostrar que $\omega_A,\omega_B,\omega_C,\omega$ tienen un punto común.

Problema 25
Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscripto en una circunferencia $O$. Para un punto $E$ de $O$, se consideran sus proyecciones $K,L,M,N$ sobre las rectas $DA,AB,BC,CD$ respectivamente. Demostrar que si $N$ es el ortocentro del triángulo $KLM$ para algún punto $E$ distinto de $A,B,C,D$ entonces lo mismo ocurre para todo punto $E$ de la circunferencia $O$.

Problema 26
Sean $x,y,z$ números reales no nulos tales que $xy,yz,zx$ son racionales.
a) Demostrar que $x^2+y^2+z^2$ es racional.
b) Si $x^3+y^3+z^3$ también es racional, demostrar que $x,y,z$ son racionales.

Problema 27
Hallar el menor número $n$ con la propiedad: entre $n$ semirrectas en el espacio con un origen común se pueden elegir dos tales que el ángulo entre ellas sea agudo.

Problema 28
Sean $a,b,c,d$ números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Hallar el menor valor posible de$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$$

Problema 29
Determinar los enteros positivos $a<b<c<d$ con la propiedad de que cada uno de ellos divide a la suma de los otros tres.

Problema 30
Consideramos el pentágono cíclico $ABCDE$. Denotemos $H_1,H_2,H_3,H_4,H_5$ los ortocentros de los triángulos $ABC,BCD,CDE,DEA,EAB$, y $M_1,M_2,M_3,M_4,M_5$ los puntos medios de los segmentos $DE,EA,AB,BC,CD$, respectivamente. Demostrar que las rectas $H_1M_1, H_2M_2, H_3M_3, H_4M_4, H_5M_5$ son concurrentes.

Problema 31
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tales que $$f^{a^2+b^2}(a+b)=af(a)+bf(b)$$ para todos $a,b\in \mathbb{Z}$.
Aquí $f^n$ denota la $n$-ésima iteración de $f$, es decir, $f^0(x)=x$ y $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))$ para todo $n\geq 0$.

Problema 32
Para todo primo impar $p$ y todo entero $n$ sea $d_p(n)\in\{0,1,...,p-1\}$ el resto de la división de $n$ por $p$. Diremos que $(a_0,a_1,a_2,...)$ es una $p$-sucesión si $a_0$ es un entero positivo coprimo con $p$ y $a_{n+1}=a_n+d_p(a_n)$ para todo $n\geq 0$.
(a) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$-sucesiones $(a_0,a_1,a_2,...)$ y $(b_0,b_1,b_2,...)$ tales que $a_n>b_n$ para infinitos $n$, y $b_n>a_n$ para infinitos $n$?
(b) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$-sucesiones tales que $(a_0,a_1,a_2,...)$ y $(b_0,b_1,b_2,...)$ tales que $a_0<b_0$ pero $a_n>b_n$ para todo $n\geq 1$?

Problema 33
Sea $n$ un entero no negativo. Hallar los enteros no negativos $a, b, c, d$ tales que $$a^2+b^2+c^2+d^2=7\cdot 4^n.$$

Problema 34
Decimos que un par de números complejos $(z_1, z_2)$ tiene la propiedad $P$ si existe un número real $a\in[-2,2]$ tal que $z_1^2-az_1z_2+z_2^2=0$. Demostrar que si $(z_1, z_2)$ tiene la propiedad $P$ entonces, para todo número natural $n$, el par $(z_1^n, z_2^n)$ tiene la propiedad.

Problema 35
Hallar todos los pares de enteros positivos $(m,n)$, con $m, n\geq 2$, tales que $a^n-1$ es divisible por $m$ para cada $a\in\{1,2,...,n\}$.

Problema 36
Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $BC=CA$ y sea $D$ un punto en el interior del lado $AB$ tal que $AD<DB$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en los interiores de los lados $BC$ y $CA$ respectivamente tales que $D\widehat{P}B=D\widehat{Q}A =90^\circ$. La mediatriz de $PQ$ corta a la recta $CQ$ en $E$, y los circuncírculos de los triángulos $ABC$ y $CPQ$ se cortan nuevamente en el punto $F$, distinto de $C$.
Supongamos que $P,E,F$ son colineales. Demostrar que $A\widehat{C}B=90^\circ$.

Problema 37
Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ tales que, para todos $x, y$ números reales positivos, $$f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1.$$

Problema 38
Sea $ABCDEF$ un hexágono con $AB\parallel DE,BC\parallel EF,CD\parallel FA$ y que tiene las tres diagonales $AD,BE,CF$ iguales. Demostrar que el hexágono se puede inscribir en una circunferencia.

Problema 39
Demostrar que si $(a_n)_{n\geq 1}$ es una sucesión de números reales distintos de cero tal que $a_1{n\choose 1}+a_2{n\choose 2}+...+a_n{n\choose n}=a_n2^{n-1}$ para todo $n$ natural, entonces $(a_n)_{n\geq 1}$ es una progresión aritmética.

Problema 40
Demostrar que no existe ninguna función $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ tal que $$f(x+y)\geq f(x)+yf(f(x))$$ para todos $x,y\in \mathbb{R}^+$.

Problema 41
Un mago intenta realizar el siguiente truco. Él anuncia un entero positivo $n$, y además, $2n$ números reales $x_1<...<x_{2n}$ a la audiencia. A continuación, un miembro de la audiencia elige, en secreto, un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes reales, calcula los $2n$ valores $P(x_1),...,P(x_{2n})$ y escribe estos $2n$ valores en el pizarrón en orden no decreciente. Después de esto, el mago anuncia el polinomio secreto a la audiencia. ¿Puede el mago hallar una estrategia para realizar con éxito este truco?

Problema 42
Sea $n\geq 2$ un entero positivo. Hallar los enteros positivos $x$ tales que $$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}<n$$ para cada número fijo de radicales.

Problema 43
Consideramos un trapecio rectángulo $ABCD$ en el que $AB\parallel CD,AB>CD,AD\perp AB$ y $AD>CD$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersectan en $O$. La paralela a $AB$ por $O$ intersecta a $AD$ en $E$ y $BE$ intersecta a $CD$ en $F$. Demostrar que $CE\perp AF$ si y sólo si $AB\cdot CD=AD^2-CD^2$.

Problema 44
Para cada número racional $m>0$ consideramos las funciones\begin{align*}f_m:\mathbb{R} & \to \mathbb{R} \\
f_m(x) & =\frac{1}{m}x+m.
\end{align*}Denotemos $G_m$ al gráfico de la función $f_m$. Sean $p,q,r$ números racionales positivos.
a) Demostrar que si $p$ y $q$ son distintos, entonces $G_p\cap G_q$ es no vacío.
b) Demostrar que si $G_p\cap G_q$ es un punto de coordenadas enteras, entonces $p$ y $q$ son números enteros.
c) Demostrar que si $p,q,r$ son números naturales consecutivos, entonces el área del triángulo determinado por las intersecciones de $G_p,G_q,G_r$ es igual a $1$.

Problema 45
Sea $S$ un conjunto que consta de $n \geq 3$ enteros positivos, ninguno de los cuales es suma de otros dos elementos distintos de $S$. Demostrar que se puede ordenar los elementos de $S$ como $a_1,a_2,...,a_n$ de modo que $a_i$ no divida a $a_{i-1}+a_{i+1}$ para todo $i=2,3,...,n-1$.

Problema 46
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $A\widehat{B}C>90^\circ ,C\widehat{D}A>90^\circ$ y $D\widehat{A}B=B\widehat{C}D$. Denotamos $E$ y $F$ a los simétricos de $A$ con respecto a las rectas $BC$ y $CD$ respectivamente. Supongamos que los segmentos $AE$ y $AF$ cortan a la recta $BD$ en $K$ y $L$ respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes.

Problema 47
Determinar el paralelepípedo recto de área mínima, de volumen mayor que $1000$ y todas sus aristas de longitud entera.

Problema 48
Sean $A,B,C,D$ puntos que no están en un mismo plano tales que $AB\perp CD$ y $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$.
a) Demostrar que $AC\perp BD$.
b) Demostrar que si $CD<BC<BD$, entonces el ángulo entre los planos $ABC$ y $ADC$ es mayor que $60^\circ$.

Problema 49
Sea $P$ un poliedro convexo de vértices $V_1,V_2,...,V_p$. Dos vértices distintos $V_i, V_j$ se dicen vecinos si pertenecen a una misma cara del poliedro. En cada vértice $V_i$ se escribe un número entero $v_i(0)$ y luego se define la sucesión $(v_i(n))_{n\geq 0}$ como: $v_i(n+1)$ es la media aritmética de los números $v_j(n)$ para todos los vértices $V_j$ que son vecinos de $V_i$.
Demostrar que si todos los $v_i(n)$, $1\leq i \leq p , n\in \mathbb{N}$, son enteros, entonces existen $M \in \mathbb{N}$ y $k\in \mathbb{Z}$ tales que $v_i(n)=k$ para todo $n\geq M$ y todo $i=1,2,...,p$

Problema 50
Para todo entero positivo $n$ sea $d (n)$ el número de divisores positivos de $n$, y sea $\varphi(n)$ el número de enteros positivos menores o iguales que $n$ que son coprimos con $n$. ¿Existe una constante $C$ tal que $$\frac{\varphi(d(n))}{d(\varphi(n))}\leq C$$ para todo $n\geq 1$?

Problema 51
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico que no tiene lados paralelos. Sean $K, L, M , N$ puntos en los lados $AB, BC, CD , DA$ respectivamente tales que $KLMN$ es un rombo con $KL\parallel AC$ y $LM\parallel BD$. Sean $\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4$ las circunferencias inscritas de los triángulos $ANK, BKL, CLM , DMN$ respectivamente. Demostrar que las tangentes interiores comunes a $\omega_1$ y $\omega_3$ y las tangentes interiores comunes a $\omega_2$ y $\omega_4$ son concurrentes.

Problema 52
Sean $k$ y $n_1<n_2<...<n_k$ enteros positivos impares. Demostrar que $$n_1^2-n_2^2+n_3^2-n_4^2+...+n_k^2\geq 2k^2-1.$$

Problema 53
Consideramos un triángulo acutángulo $ABC$. En la semirrecta $BC$ consideramos dos puntos distintos $P$ y $Q$ cuyas proyecciones sobre la recta $AB$ son $M$ y $N$. Si se sabe que $AP=AQ$ y $AM^2-AN^2=BN^2-BM^2$, hallar el ángulo $A\widehat{B}C$.

Problema 54
Los números de Fibonacci $F_0,F_1,F_2,...$ se definen en forma inductiva por $F_0=0,F_1=1$ y $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ para $n \geq 1$. Dado un entero $n\geq 2$, determinar la menor cantidad de elementos que puede tener un conjunto $S$ de enteros tales que para todo $k=2,3,...,n$ existen $x,y\in S$ tales que $x-y=F_k$.

Problema 55
Sean $\Gamma$ e $I$ el circuncírculo y el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Dos circunferencias $\omega_B$ y $\omega_C$ que pasan por $B$ y $C$ respectivamente son tangentes en $I$. La circunferencia $\omega_B$ corta nuevamente al menor arco $AB$ de $\Gamma$ y al segmento $AB$ en $P$ y $M$ respectivamente. De manera similar, la circunferencia $\omega_C$ corta nuevamente al menor arco $AC$ de $\Gamma$ y al segmento $AC$ en $Q$ y $N$ respectivamente. Las semirrectas $PM$ y $QN$ se cortan en $X$, y las tangentes a $\omega_B$ y $\omega_C$ por $B$ y $C$, respectivamente, se cortan en $Y$.
Demostrar que los puntos $A$, $X$ e $Y$ son colineales.

Problema 56
Consideramos la ecuación $$x^2+(a+b+c)x+\lambda (ab+bc+ca)=0$$ donde $a,b,c$ son números reales positivos y $\lambda\in \mathbb{R}$ es un parámetro. Demostrar que:
a) Si $\lambda\leq \frac{3}{4}$, la ecuación tiene raíces reales;
b) Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo y $\lambda\geq 1$, entonces la ecuación no tiene raíces reales.

Problema 57
Consideramos una función $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ con la propiedad: $$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$$ para todos $m,n\in\mathbb{Z}$. Demostrar que:
a) $f(0)=0$;
b) $f(1)=1$;
c) $f(n)=n$ para todo $n$ entero.

Problema 58
Sea $p$ un primo impar y definimos $N=\frac{1}{4}(p^3-p)-1$. Los números $1, 2, …, N$ están coloreados arbitrariamente de dos colores, rojo y azul. Para todo entero positivo $n\leq N$, denotamos $r (n)$ a la fracción de enteros de $\{1, 2, …, n\}$ que son rojos. Demostrar que existe un entero positivo $a\in\{1,2,...,p-1\}$ tal que $r(n)\neq\frac{a}{p}$ para todo $n=1,2,...,N$.

Problema 59
Sean $I$ e $I_A$ el incentro y el $A$-excentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB <AC$. La circunferencia inscrita toca a $BC$ en $D$. La recta $AD$ corta a $BI_A$ y $CI_A$ en $E$ y $F$ respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AID$ e $I_AEF$ son tangentes.

Problema 60
a) Hallar enteros $m$ y $n$ tales que $9m^2+3n=n^2+8$.
b) Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Comparar los números$$x=a^{a+b}+(a+b)^a;\quad y=a^a+(a+b)^{a+b}.$$

Problema 61
Sea $n$ un número natural y $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ vectores del plano de longitudes menores o iguales que $1$. Demostrar que existen $\varepsilon _1,\varepsilon _2,\ldots ,\varepsilon _n\in \{-1,1\}$ tales que$$|\varepsilon _1v_1+\varepsilon _2v_2+\ldots +\varepsilon _nv_n|\leq \sqrt{2}.$$

Problema 62
a) Sean $f, g: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ dos funciones inyectivas. Demostrar que la función $h: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ definida por $h(x)=f(x)g(x)$ para todo entero $x$ no puede ser una función suryectiva.
b) Sea $f: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ una función suryectiva. Demostrar que existen funciones suryectivas $g,h: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tales que $f(x)=g(x)h(x)$ para todo $x\in\mathbb{Z}$.

Problema 63
Sean $a$ y $b$ números reales, positivos y distintos. Consideramos el conjunto $$M=\{ax+by|x,y\in\mathbb{R},x>0,y>0,x+y=1\}.$$ Demostrar que
i) $\frac{2ab}{a+b}\in M$;
ii) $\sqrt{ab}\in M$.

Problema 64
Demostrar que no existen números enteros $a$ y $b$ tales que $a^3+a^2b+ab^2+b^3=2001$

Problema 65
Tres colegios tienen $200$ alumnos cada uno. Cada alumno tiene al menos un amigo en cada colegio (si el alumno $a$ es amigo del alumno $b$ entonces $b$ es amigo de $a$). Se sabe que existe un conjunto $E$ de $300$ alumnos (entre los $600$) tales que para cada colegio $C$ y para todo par de alumnos $x,y\in E$ que no son del colegio $C$, el número de amigos de $x$ que van al colegio $C$ es distinto del número de amigos de $y$ que van al colegio $C$. Demostrar que se puede hallar un alumno en cada colegio que sea amigo de cada uno de los otros.

Problema 66
En un sistema de coordenadas, consideramos las rectas de ecuaciones: $$d_1:2x-y-2=0,d_2:x+y-4=0,d_3:y=2,d_4:x-4y+3=0.$$ Hallar los vértices del triángulo que tiene medianas $d_1, d_2, d_3$, y una de sus alturas es $d_4$.

Problema 67
Sea $A$ el conjunto de los números reales que verifican:
i) $1\in A$;
ii) $x\in A\Rightarrow x^2\in A$;
iii) $x^2-4x+4\in A\Rightarrow x\in A$.
Demostrar que $2000+\sqrt{2001}\in A$.

Problema 68
Sean $a$ y $b$ números complejos no nulos y $z_1, z_2$ las raíces del polinomio $X^2+aX+b$. Demostrar que $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ si y sólo si existe un número real $\lambda\geq 4$ tal que $a^2=\lambda b$.

Problema 69
Sea $n$ un entero positivo y $f(X)=a_0+a_1X+...+a_mX^m$ con $m\geq 2$ un polinomio de
coeficientes enteros, tal que:
(1) $a_2,a_3,...,a_m$ son divisibles por todos los factores primos de $n$.
(2) $a_1$ y $n$ son coprimos.
Demostrar que para todo entero positivo $k$ existe un entero positivo $c$ tal que $f(c)$ es divisible por $n^k$.

Problema 70
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$ y $D$ el punto del lado $AC$ tal que $BD$ es la bisectriz de $A\widehat{B}C$. Demostrar que $BC-BD=2AB$ si y sólo si $\frac{1}{BD}-\frac{1}{BC}=\frac{1}{2AB}$.

Problema 71
Sean $m, k$ enteros positivos, $k<m$ y $M$ un conjunto de $m$ elementos. Demostrar que el número máximo de subconjuntos $A_1, A_2, ..., A_p$ de $M$ para los cuales $A_i\cap A_j$ tiene a lo sumo $k$ elementos, para todo $1\leq i<j\leq p$, es igual a $$P={m\choose 0}+{m\choose 1}+{m\choose 2}+...+{m\choose k+1}.$$

Problema 72
Sea $n\geq 2$ un entero par, y $a, b$ números reales tales que $b^n=3a+1$. Demostrar que el polinomio $P(X)=(X^2+X+1)^n-X^n-a$ es divisible por $Q(X)=X^3+X^2+X+b$ si y sólo si $b=1$.