Archivo de Enunciados • Listas de problemas • Entrenamiento IMO • Simulacros 2021


Problema 1
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $O$ su circuncentro. La circunferencia $\Omega$ pasa por $B$, $O$ y $C$ e interseca a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ respectivamente. Sea $K$ el centro de $\Omega$ y sea $L$ el simétrico de $K$ respecto de la recta $DE$.
Demostrar que $AL \perp BC$.

Problema 2
Un polígono regular de $100$ lados tiene $41$ vértices coloreados de rojo y los restantes $59$ de azul. Demostrar que es posible dibujar $24$ cuadriláteros convexos $Q_1,Q_2,\ldots ,Q_{24}$ cuyos vértices son vértices del polígono y cumplen las siguientes dos condiciones:
  • Si $i\neq j$, los cuadriláteros $Q_i$ y $Q_j$ no tienen ningún punto en común (ni en el interior ni en el borde).
  • Cada cuadrilátero $Q_i$ tiene tres vértices de un color y un vértice del otro color.


Problema 3
Sean $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}_0$ los conjuntos de los enteros positivos y de los enteros no negativos respectivamente. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}_0$ que satisfacen las siguientes dos condiciones:
  • $f(xy)=f(x)+f(y)$ para cualesquiera $x,y<\in \mathbb{N}$;
  • existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(k)=f(n-k)$ para todo $k<n$.


Problema 4
En un torneo de ajedrez participan $N \geq 2$ personas. Cada par de ellas se enfrentan exactamente una vez. En cada partida, una persona recibe $2$ puntos si gana, $1$ punto si empata y $0$ puntos si pierde.
Al finalizar el torneo se publica la lista $\mathcal{P} = (p_1 \geq p_2 \geq . . . \geq p_N )$ de los puntajes que obtuvieron las $N$ personas en el torneo, ordenados de mayor a menor. Decimos que la lista $\mathcal{P}$ es buena si conociendo esta lista y a qué persona corresponde cada puntaje, se puede determinar completamente el resultado de todas las partidas del torneo.
Calcular la cantidad de listas buenas para cada $N$.

Problema 5
Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Demostrar que dados $n$ números reales $a_1, a_2, . . . , a_n$ en el intervalo $[1,2^k]$ se cumple que $$\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{\sqrt{a_1+...+a_i^2}}\leq 4\sqrt{kn}.$$

Problema 6
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que no es cíclico. Los puntos $P, Q, R$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ a las rectas $BC, BD, CD$ respectivamente. Los puntos $X, Y , Z$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$ a las rectas $BC, AC, AB$ respectivamente. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABD$. Supongamos que las circunferencias circunscritas de los triángulos $PQR$ y $XYZ$ se cortan en dos puntos distintos $U$ y $V$. Demostrar que la recta $UV$ pasa por el punto medio de $BH$.

Problema 7
Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que, para todos los reales $x$ e $y$,$$f(xy)=yf(x)+x+f(f(y)-f(x)).$$

Problema 8
Sea $ABCDEF$ un hexágono cíclico y convexo tal que $AB = BC = CD = DE$. Supongamos que existe un punto $K$ en el segmento $AE$ tal que $B\widehat{K}C = K\widehat{F}E$ y $C\widehat{K}D = K\widehat{F}A$. Demostrar que $KC = KF$.

Problema 9
En una fiesta clandestina estuvieron presentes $2021$ personas. Decimos que un conjunto de $k ≥ 3$ personas es un ciclo puro si se las puede nombrar $P_1, P_2, . . . , P_k$ de forma tal que $P_i$ bailó con $P_{i+1}$ para todo $1 ≤ i < k$, y $P_k$ bailó con $P_1$, pero no hay ningún otro par de personas del conjunto que hayan bailado durante la fiesta.
Supongamos que para toda persona $P$ y todo ciclo puro que no contenga a $P$ se cumple que $P$ bailó con a lo sumo una de las personas que componen el ciclo. Demostrar que es posible distribuir a las $2021$ personas en tres habitaciones con la condición de que si dos personas bailaron durante la fiesta entonces deben estar en habitaciones distintas.