Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Selectivo de Ibero • 2021


Problema 1
En un tablero de ajedrez de $n$ x $n$, con $n\geq2$, un rey puede hacer dos tipos de
movimientos: en el tipo A se mueve a una casilla vecina con la que tiene un lado común;
en el tipo B se mueve a una casilla vecina en diagonal, con la que tiene un vértice común.
Hallar todos los valores de $n$ para los que es posible colocar al rey en alguna casilla del tablero
y a continuación realizar alternadamente movimientos de tipo $A$ y de tipo $B$, comenzando por uno de tipo $B$,
de modo que el rey recorra todas las casillas del tablero pasando exactamente una vez por cada una.

Problema 2
Sean $ABCD$ un cuadrilátero convexo y $O$ la intersección de sus diagonales. Sean $O$ y $M$ los dos puntos de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $OAD$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $OBC$. Sean $T$ y $S$ los puntos de intersección de $OM$ con las circunferencias circunscritas de los triángulos $OAB$ y $OCD$ respectivamente.
Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $TS$.

Problema 3
Hallar todos los enteros no negativos tales que$$(2^{2m+1})^2+1$$es divisible por a lo sumo dos primos distintos

Problema 4
Sea $a_n$ la sucesión dada por$$a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{1}{a_n},\quad n=1,2,\ldots .$$Demostrar que $a_{220}>21$.

Problema 5
Hallar todos los enteros positivos $d$ con la siguiente propiedad: existe un entero $k\geq 3$ tal que los $k$ números $d,2d,3d,\ldots ,kd$ se pueden ordenar en una sucesión de manera que las $k-1$ sumas de dos términos consecutivos sean todos cuadrados perfectos.

Problema 6
Se tiene un tablero de $2021\times 2021$. En cada casilla hay escrito un número entero impar. Sean $F_i$ la suma de los números de la fila $i$ y $C_j$ la suma de los números de la columna $j$, para todos $1\leq i,j\leq 2021$. Denotamos $A$ a la multiplicación de todos los $F_i$, y $B$ a la multiplicación de todos los $C_j$. Demostrar que $A+B$ es siempre distinto de $0$.