Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • PAGMO • 2021


Problema 1
Disponemos de $n \geq 2$ fichas numeradas del $1$ al $n$. Se colocan, no necesariamente en orden, formando un círculo. Empezamos en la ficha con el número $1$.
En cada turno, si estamos en la ficha con el número $i$, saltamos a la que está $i$ lugares más adelante, siempre en el sentido de las agujas del reloj. Por ejemplo, observar la siguiente figura:
Pagmo 2021 - P1.jpg
Determine todos los valores de $n$ tales que es posible ordenar las fichas de manera que visitamos todas ellas.

Problema 2
Considere el triángulo rectángulo isósceles $ABC$ con $\angle BAC=90^\circ$. Sea $\ell$ la recta que pasa por $B$ y el punto medio del lado $AC$. Sea $\Gamma$ la circunferencia con diámetro $AB$. La recta $\ell$ y la circunferencia $\Gamma$ se intersectan en el punto $P$, diferente de $B$. Muestre que la circunferencia que pasa por los puntos $A$, $C$ y $P$ es tangente a la recta $BC$ en $C$.

Problema 3
Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que la igualdad
$$f(x+yf(x+y)) +xf(x)= f(xf(x+y+1))+y^2$$ es verdadera para cualesquiera números reales $x, y$.

Nota: Una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una regla de asignación tal que a cada número real $z$ le asocia un único número real denotado por $f (z)$. Por ejemplo, $f (z) = z^2 + 1$ es una función que asocia al número $1$ con $f(1) =1^2 + 1 = 2$, y asocia al $-2$ con $f ( - 2) = (-2)^2 + 1 = 5$.

Problema 4
Lucía multiplica varios números de una cifra (posiblemente repetidos) y obtiene un entero $n$ mayor que $10$. Luego multiplica todas las cifras de $n$ y obtiene un número impar. Determine todos los posibles valores de la cifra de las unidades de $n$.
Aclaración. La cifra de las unidades de un número es la que está más a la derecha. Por ejemplo, la cifra de las unidades de $2021$ es $1$.

Problema 5
Celeste tiene un número ilimitado de dulces de cada uno de $n$ tipos distintos, etiquetados tipo $1$, tipo $2$,..., tipo $n$. Inicialmente ella toma $m > 0$ dulces y los pone en fila sobre una mesa. Después escoge repetidamente una de las siguientes operaciones y la ejecuta (puede que no tenga siempre ambas opciones).
  1. Ella se come un dulce de tipo $k$ y pone en su lugar dos dulces: uno de tipo $k - 1$ seguido por uno de tipo $k +1$. Consideramos el tipo $n + 1$ como tipo $1$, y el tipo $0$ como tipo $n$.
  2. Ella escoge dos dulces del mismo tipo que sean adyacentes y se los come.
Determinar todos los enteros positivos $n$ para los que Celeste puede dejar la mesa vacía después de realizar un número finito de las operaciones anteriores, para todo valor de $m$ y toda configuración de dulces en la Mesa.

Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $\Gamma$ el excírculo opuesto al vértice $A$. Suponga que $\Gamma$ es tangente a las rectas $BC, AC$ y $AB$ en los puntos $A_1, B_1$ y $C_1$ respectivamente. Suponga que las rectas $IA_1, IB_1$ e $IC_1$, intersectan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $A_2, B_2$ y $C_2$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio del segmento $AA_1$. Si las rectas $A_1B_1$ y $A_2B_2$ se intersectan en $X$ y las rectas $A_1C_1$ y $A_2C_2$ se intersectan en $Y$, demuestre que $MX = MY$.

Notas:

El incentro del triángulo $ABC$ es el centro de la circunferencia que es tangente a los segmentos $BC, AB$ y $AC$.
El excirculo del triángulo $ABC$ opuesto al vértice $A$ es la circunferencia que es tangente al segmento $BC$, a la prolongación del segmento $AB$ más allá de $B$, y a la prolongación del segmento $AC$ más allá de $C$.