Problema 1
El Mono escribió una lista de $2021$ números:$$1,11,111,1111,11111,\ldots .$$Cada número de la lista tiene un dígito $1$ más que el anterior. El último número de la lista es el número formado por $2021$ dígitos $1$.
Calcular cuántos de los números de la lista del Mono son múltiplos de $303$.
Problema 2
Se tienen $11$ pesas en un circulo, todas de pesos diferentes. Gianni escribe entre cada par de ellas la diferencia de sus pesos, el mayor menos el menor. Mostrar que Gianni siempre puede dividir los $11$ números que escribió en $2$ grupos de igual suma.
Problema 3
En un cuadrado $ABCD$, se marcan dos puntos $E$ y $F$ en los segmentos $AB$ y $BC$, respectivamente, de manera tal que $BE=BF$. Sea $H$ el pie de la altura del triángulo $BEC$ que pasa por $B$. Hallar la medida del ángulo $D\widehat HF$.
Problema 4
Dado $n\in \mathbb{N}$, llamaremos $P(n)$ al producto de sus dígitos.
Hallar todos los $n\in \mathbb{N}$ tales que $P(n)=n^2-17n+56$.
Problema 5
Consideramos todas las permutaciones de los números del $1$ al $n$, y las concatenamos todas en orden lexicográfico (de diccionario). Demostrar que si aparecen $n$ números consecutivos cuya suma es $\dfrac{n(n+1)}{2}$ entonces necesariamente son los números del $1$ al $n$ en algún orden.
Problema 6
Probar que existe un único par de enteros positivos $(a,n)$ tales que$$a^{n+1}-(a+1)^n=2001.$$
Problema 7
Sean $a,b,c$ reales positivos. Demostrar que$$\left (\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right )^2\geq (a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right ).$$
Problema 8
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AB$ y $CD$, y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $CD$, respectivamente. El circuncírculo del triángulo $MPN$ corta a los circuncírculos de los triángulos $ANB$ y $CMD$ por segunda vez en los puntos $Q$ y $R$, respectivamente. Demostrar que $PQ=PR$.
Problema 9
Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que existen enteros positivos $a_1,\ldots ,a_n,b_1,\ldots ,b_n$ tales que$$(a_1^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+\cdots +b_n^2)-(a_1b_1+\cdots +a_nb_n)^2=n.$$