Archivo de Enunciados • Competencias de otros países • Perú • ONEM • ONEM - Fase 3 • 2021 • Nivel 2


Problema 1
En una empresa hay $30$ trabajadores, algunos de los cuales trabajan en la modalidad remota (desde casa) y otros en la modalidad presencial. Si se contratan a $15$ trabajadores: $10$ en la modalidad remota y $5$ en la modalidad presencial, el porcentaje de trabajadores de la modalidad remota se duplicaría. Determine cuántos trabajadores en la modalidad remota hay actualmente.

Problema 2
En un hotel la numeración de sus habitaciones corresponde a un número de tres dígitos, donde el dígito de las centenas representa el piso en el que se encuentra una habitación. José se registró en dicho hotel y se dio cuenta de que el número de su habitación es múltiplo de $9$, múltiplo de $5$ y par. Si se sabe que los números de las habitaciones en cada piso terminan en $01,02, \dots ,30$, determine cuál es el piso más alto en el que se puede encontrar la habitación de José.
Aclaración: Note que no hay habitaciones que terminan en $00$.

Problema 3
Abel le pide a Beto que piense en un número. Luego le pide que realice las siguientes operaciones en orden: multiplica el número por $2$, suma $x$, divide entre $4$, resta $2$, vuelve a multiplicar por $2$ y finalmente resta el número que pensaste incialmente. Luego de estas operaciones, Abel le dice a Beto que el resultado fue $12$. Determine el valor de $x$ para que Abel acierte con el resultado de la operación.

Problema 4
En una prueba de atletismo la pista tiene una longitud de $d$ metros y cada uno de los participantes corrió a rapidez constante. Se sabe que Ana le ganó a Beto por $90$ metros, es decir, cuando Ana llegó a la meta, a Beto le faltaban $90$ metros. Además, Beto le ganó a Carlos por $75$ metros y Ana le ganó a Carlos por $150$ metros. Encuentre el valor de $d$.

Problema 5
Aldo y Matías tienen cada uno, un dado. Ambos lanzan sus dados y la persona que saca el número más alto gana. Si sacan el mismo número vuelven a lanzar otra vez y si el resultado vuelve a ser empate se declara a Matías como ganador. La probabilidad de que Matías gane es $\frac a b$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos coprimos. Calcule el valor de $a+ b$.
Aclaración: Cada dado tiene los números del $1$ al $6$.

Problema 6
Los enteros positivos $a<b<c<d<e$ forman una progresión aritmética y tres de ellos están en progresión geométrica. Calcule la cantidad de valores que puede tomar $d$, si sabemos que es menor que $120$.

Problema 7
Sea $ABCD$ un cuadrado. Sean $E$ un punto de la prolongación de $BC$ ($C$ está entre $B$ y $E$) y $F$ un punto de la prolongación de $DC$ ($C$ está entre $D$ y $F$) tales que $\angle AEF = 90^\circ$, Si $BE = 24$ y $DF = 26$, determine el área del cuadrado $ABCD$.

Problema 8
Un profesor pide a sus alumnos que resuelvan la ecuación $x^2 - a x+ b + 1 = 0$, que tiene raíces enteras positivas $x_1 < x_2$. Juan se equivoca al copiar el problema y en su lugar resuelve la ecuación $x^2 - ax+ b-1 = 0$, que tiene raíces enteras positivas $x_3 < x_4$. Si $x_1x_4 = 5040$, determine el valor de $x_2x_3$.

Comentario: Las demás preguntas pronto (a menos que alguien los postee)

Problema 9
Un terreno tiene forma de un tablero de $9 \times 9$. En cada casilla está enterrado un cofre y solo uno de los cofres tiene un tesoro. Cada uno de los otros cofres tiene un pañuelo azul si el tesoro está en la misma fila o columna en la que está dicho cofre, en caso contrario tiene un pañuelo rojo. ¿Cuántas casillas debemos excavar como mínimo para desenterrar con certeza el tesoro?

Problema 10
Sea $N = 2^{10} \times 3^5$. Determine cuántos elementos como máximo puede tener un conjunto $A$ que cumple las siguientes propiedades a la vez:
  • los elementos de $A$ son enteros positivos menores o iguales que $N$.
  • si $a$ y $b$ son elementos distintos de $A$, entonces $N$ es un divisor de $ab$ (producto de $a$ y $b$).