Problema 1
Una sucesión de dígitos $1$ y $2$ está determinada por las siguientes dos propiedades:
(i) La sucesión se construye escribiendo, en algún orden, bloques $12$ y bloques $112$.
(ii) Si se reemplaza cada bloque $12$ por $1$ y cada bloque $112$ por $2$ se obtiene, de nuevo, la misma sucesión.
¿En qué posición está el centésimo dígito $1$? ¿Cuál es el milésimo dígito de la sucesión?
Problema 2
Sea $m$ un entero positivo para el que existe un entero positivo $n$ tal que la multiplicación $mn$ es un cuadrado perfecto y $m-n$ es primo.
Hallar todos los $m$ para $1000 \leq m \leq 2021$.
Problema 3
Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tal que $A\widehat BC=60^\circ$.
a) Demostrar que si $BC=CD$ entonces $AB=CD+DA$.
b) ¿Es cierto que si $AB=CD+DA$ entonces $BC=CD$?
Problema 4
Hallar los números reales $x,y,z$ tales que$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2};\quad \frac{1}{y}+\frac{1}{x+z}=\frac{1}{3};\quad \frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}.$$
Problema 5
Se define la sucesión $a_n$ ($n\geq 1$) de números naturales como $a_{n+1}=a_n+b_n$, donde $b_n$ es el número que tiene los mismos dígitos que $a_n$ pero en el orden opuesto ($b_n$ puede comenzar con $0$). Por ejemplo, si $a_1=180$, entonces $a_2=261$, $a_3=423$, $\ldots$
(a) Decidir si se puede elegir $a_1$ de manera que $a_7$ sea primo.
(b) Decidir si se puede elegir $a_1$ de manera que $a_5$ sea primo.
Problema 6
Decimos que un entero positivo $k$ es
tricúbico si existen tres enteros positivos $a,b,c$, no necesariamente distintos, tales que $k=a^3+b^3+c^3$.
a) Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: exactamente uno de los tres números $n$, $n+2$ y $n+28$ es tricúbico.
b) Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: exactamente dos de los tres números $n$, $n+2$ y $n+28$ son tricúbicos.
c) Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: los tres números $n$, $n+2$ y $n+28$ son tricúbicos.