Problema 1
Decimos que un entero positivo es
guaraní si la suma del número con su reverso da un número que solo posee cifras impares. Por ejemplo, $249$ y $30$ son
guaraníes, ya que $249 + 942 = 1191$ y $30 + 03 = 33$
a) ¿Cuántos números de $2021$ cifras son
guaraníes?
b) ¿Cuántos números de $2023$ cifras son
guaraníes?
Problema 2
Sean $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro. Las rectas $BI$ y $CI$ vuelven a intersectar el circuncírculo de $ABC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Se trazan las circunferencias $C_{1}$ y $C_{2}$ de diámetros $NI$ y $MI$, respectivamente. La circunferencia $C_{1}$ intersecta a $AB$ en $P$ y $Q$, y la circunferencia $C_{2}$ intersecta a $AC$ en $R$ y $S$. Demuestre que $P, Q, R$ y $S$ pertenecen a una misma circunferencia.
Problema 3
En un club de tenis, cada socio tiene exactamente $k>0$ amigos, y se organiza un torneo por rondas para que cada par de amigos se enfrenten en partidas una única vez. Las rondas se juegan en partidas simultáneas anotando parejas hasta que no se pueda anotar nadie más (es decir, entre las personas no anotadas no hay una pareja de amigos que tengan su partida pendiente). Determine el máximo número de rondas que el torneo puede tener, en función de $k$.
Problema 4
En un montón hay $2021$ piedras. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan a retirar piedras del montón, en forma alternada y comenzando por $A$. Una
jugada válida para $A$ consiste en retirar $1$, $2$ o $7$ piedras. Una
jugada valida para $B$ consiste en retirar $1$, $3$, $4$ o $6$ piedras. Gana el jugador que deje el montón vacío luego de hacer una jugada válida. Determine si alguno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora. En caso que exista, expliquela.
Problema 5
Dado un entero $n \geq 3$, determinar si existen $n$ enteros $b_{1}, b_{2},..., b_{n}$, distintos dos a dos (es decir, $b_{i} \neq b_{j}$ para todo $i \neq j$) y un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros, tales que $P(b_{1})=b_{2}, P(b_{2})=b_{3},..., P(b_{n-1})=b_{n}$ y $P(b_{n})=b_{1}$.
Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo escaleno con circuncírculo $\Gamma$. Sean $P$, $Q$, $R$, $S$ puntos distintos en el lado $BC$, en ese orden, tales que $\angle BAP=\angle CAS$ y $\angle BAQ=\angle CAR$. Sean $U$, $V$, $W$, $Z$ las intersecciones distintas de $A$, de $AP$, $AQ$, $AR$ y $AS$ con $\Gamma$, respectivamente. Sean $X=UQ\cap SW$, $Y=PV\cap ZR$, $T=UR\cap VS$, $K=PW\cap ZQ$. Supongamos que están determinados los puntos $M$ y $N$ tales que $M=KX\cap TY$ y $N=TX\cap KY$. Demuestre que $M$, $N$, $A$ son colineales.