Archivo de Enunciados • Competencias de OMAForos • OMA Foros Open • 2022


Problema 1
La famosa ciudad de El Plato, conocida por su falta de diagonales y cuna de olímpicos apasionados por la Teoría de Números, tuvo una cantidad récord de clasificados al Certamen Nacional de OMA $2021$. A pesar de la gran cantidad de olímpicos que iban a representar a El Plato, dicha ciudad no contaba con una sede propia, por lo que tuvieron que trasladarse hasta la ciudad de La Plata. Para organizar el traslado, Barta, la secretaria regional, decidió analizar las distintas opciones disponibles e hizo las siguientes observaciones:
  • Si viajan en remises de cuatro personas, en uno van a tener que viajar tres olímpicos.
  • Si viajan en combis de treinta personas, en una van a tener que viajar veintinueve olímpicos.
  • Si viajan en bondis de cuarenta y dos personas, en uno van a tener que viajar cuarenta y un olímpicos.
Si se sabe que hubo menos de ochocientos clasificados, ¿cuántos aviones de doscientas personas se necesitarían como mínimo para trasladar a la delegación?

Problema 2
Fede y Lorenzo juegan un juego. Hay $40$ cartas numeradas del $1$ al $10$ y con cuatro palos distintos. Al principio, cada jugador recibe $20$ cartas, y en su turno puede poner una carta en la mesa o tomar algunas cartas de la mesa cuya suma sea $12$ y descartarlas. Al final, Fede tiene en su mano un $9$ y un $1$, en la mesa hay un $2$ y Lorenzo tiene una única carta.
Hallar el valor de esta carta.

Problema 3
Burbuja, Bombón y Bellota están juntando monedas para salvar a Saltadilla mientras comen una quesadilla, cada una tiene al menos una moneda. Se sabe que el cociente entre la cantidad de monedas de Burbuja y la suma de las cantidades de monedas de Bombón y Bellota es $\dfrac{1000}{1023}$, y que el cociente entre la cantidad de monedas de Bombón y la suma de las cantidades de monedas de Burbuja y Bellota es $\dfrac{146}{143}$.
Calcular el cociente entre la cantidad de monedas de Bellota y la suma de las cantidades de monedas de Burbuja y Bombón.

Aclaración: El cociente entre $x$ e $y$ es la división $\dfrac{x}{y}$.

Problema 4
En el triángulo $ABC$, sean $M$ el punto medio de $BC$, $N$ el punto medio de $AM$ y $D$ el punto de intersección de las rectas $CN$ y $AB$.
Demostrar que si $BN=BM$, entonces $AD=DN$.

Problema 5
Joa dibujó en el pizarrón un tablero de $1\times 9$ y quiere completarlo con enteros positivos, no necesariamente distintos, de manera tal que cada número escrito resulte ser un divisor de todos los números escritos a su derecha. Si ya escribió el $360$ en el noveno casillero, ¿cuántas maneras distintas tiene de completar los ocho casilleros restantes?\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \textbf{360} \\ \hline
\end{array}

Problema 6
Determinar si es posible escribir $101$ números enteros positivos alrededor de una circunferencia de manera tal que la razón entre cada par de números vecinos sea siempre un número primo.

Aclaración: La razón entre dos números es la división entre el mayor y el menor.

Problema 7
En una recta tenemos cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$, en ese orden, de forma que $AB=CD$. El punto $E$ es un punto fuera de la recta tal que $CE=DE$.
  • $\text{a)}$ Demostrar que si $AC=CE$, entonces $C\widehat ED=2\cdot A\widehat EB$.
  • $\text{b)}$ Demostrar que si $C\widehat ED=2\cdot A\widehat EB$, entonces $AC=CE$.


Problema 8
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que la desigualdad $$f(a)+b\cdot f(f(a))\leq a \ (1+f(b))$$se cumple para todos los enteros positivos $a,b$.

Problema 9
Hallar la menor cantidad de casillas que se deben pintar en un tablero de $5\times 7$ de manera que cada casilla no pintada tenga exactamente una vecina pintada.

Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.

Problema 10
En el triángulo $ABC$ se marcan los puntos $D$ y $E$ en los lados $CA$ y $AB$, respectivamente, de manera tal que las rectas $BC$ y $DE$ sean paralelas. La recta $DE$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $F$ y $G$, con $D$ entre $F$ y $E$. Las rectas $FC$ y $GB$ se cortan en el punto $P$, y las circunferencias circunscritas de los triángulos $FEP$ y $GDP$ se cortan por segunda vez en el punto $Q$.
Demostrar que los puntos $A$, $P$ y $Q$ están alineados.

Aclaración: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la circunferencia que pasa por los vértices del mismo.

Problema 11
Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que dentro de cualquier conjunto de $n$ reales positivos $a_1,\ldots ,a_n$ que cumple que $\max (a_1,\ldots ,a_n)\leq n\cdot \min (a_1,\ldots ,a_n)$, siempre es posible elegir tres que sean los lados de un triángulo acutángulo.

Aclaración: $\max (a_1,\ldots ,a_n)$ denota al máximo número entre $a_1,\ldots ,a_n$ y $\min (a_1,\ldots ,a_n)$ denota al mínimo.

Problema 12
Hallar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que$$P(n!)=|P(n)|!$$para todo entero positivo $n$.

Problema 13
Sea $\tau (n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Hallar todas las sucesiones crecientes $a_1,a_2,\ldots$ de números naturales tales que $\tau (i+j)=\tau (a_i+a_j)$ para todos $i,j\in \mathbb{N}$.

Aclaración: Una sucesión es creciente si para $i\leq j$ se tiene que $a_i\leq a_j$.

Problema 14
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sean $D$, $E$ y $F$ puntos sobre las rectas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, tales que $DE\perp CO$ y $DF\perp BO$. Sea $K$ el circuncentro del triángulo $AEF$.
Hallar el lugar geométrico de $K$ cuando $D$ varía en la recta $BC$.

Aclaración: El lugar geométrico de un punto es el conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad.
Es decir, si un punto cumple la propiedad, entonces pertenece al lugar geométrico. Pero si no la cumple, no pertenece.

Problema 15
En un tablero de $2022\times 2022$ se escriben números reales positivos, uno en cada casilla, de modo que si dos casillas son simétricas respecto de la diagonal principal, entonces el producto de los números escritos en ambas es $1$. Sea $c_i$ la suma de los números escritos en la fila $i$, para cada $i=1,2,\ldots ,2022$, y sea$$c=\frac{1}{c_1}+\frac{1}{c_2}+\cdots +\frac{1}{c_{2022}}.$$Hallar el mayor valor posible de $c$.

Aclaración: La diagonal principal es la que va de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha.

Problema 16
Decimos que un entero positivo $n$ se sube a la Scaloneta si para todo entero positivo $k$ se cumple que si tenemos $k$ puntos en el plano de manera tal que no haya tres alineados, entonces existen a lo sumo $k$ polígonos de $n$ lados de área máxima.
Hallar el menor entero positivo $n$ que se sube a la Scaloneta.

Aclaración: Decimos que un polígono de $n$ lados tiene área máxima si no existe otro polígono de $n$ lados con área mayor que él dentro del conjunto de puntos dados.