Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Selectivo Cono Sur • 2022


Problema 1
Alan multiplicó dos números enteros que difieren en $9$. Felipe multiplicó dos números enteros que difieren en $6$. Los dos obtuvieron el mismo resultado, $M$. Determinar todos los posibles valores de $M$.

Problema 2
Sea $k$ un entero mayor que $1$. Hallar el menor entero positivo $n$ para el que en un tablero de $n\times n$ se pueden pintar de negro algunas casillas de modo tal que cada fila y cada columna contenga exactamente $k$ casillas negras y no haya dos casillas negras que tengan un lado o un vértice en común.

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$. La bisectriz del ángulo $B\widehat AC$ corta al lado $BC$ en $D$. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Demostrar que la recta que pasa por los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $ADM$ es paralela a la recta $AD$.

Aclaración: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la circunferencia que pasa por sus tres vértices. Su centro es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo.

Problema 4
Un entero $n>10$ tiene entre sus divisores enteros positivos dos, $a$ y $b$, tales que $n=a^2+b$. Demostrar que existe por lo menos un número comprendido entre $a$ y $b$ que es divisor de $n$.

Problema 5
Se marcan en el plano $2022$ puntos azules, $A_1,A_2,\ldots ,A_{2022}$, y luego se marcan con rojo todos los puntos medios de los segmentos que tienen sus dos extremos azules. Determinar cuál es la menor cantidad posible de puntos rojos.

Problema 6
El hotel Interestelar tiene $100$ habitaciones todas con distinta cantidad de camas individuales; las cantidades de camas en las habitaciones son $101,102,103,\ldots ,200$. Las habitaciones están ocupadas por $n$ personas en total. Hoy llega un pasajero VIP y el dueño le quiere ofrecer una habitación para él solo. Con este propósito, el dueño del hotel quiere elegir dos habitaciones $A$ y $B$ y mudar a todos los ocupantes de $A$ a $B$ sin exceder la capacidad de la habitación $B$. Determinar el mayor valor de $n$ para el que el dueño puede estar seguro de que su objetivo se podrá cumplir cualquiera sea la distribución de los $n$ pasajeros en las $100$ habitaciones.