Problema 1
Joacoini dice que su número de la suerte, es el número que corresponde a la suma de todos los enteros positivos de $3$ cifras que no sean múltiplos de $13$. Decir cuál es el número de la suerte de
Joacoini.
Problema 2
Un número de $k$ dígitos es llamado
súper primo si para todos los segmentos de $1$ a $k$ dígitos consecutivos, el número obtenido sigue siendo primo.
Hallar todos los números
súper primos.
Aclaración: Por ejemplo, los segmentos del número $123$ son $1$, $2$, $3$, $12$, $23$ y $123$.
Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo con $B\widehat AC=40^\circ$ y $A\widehat BC=70^\circ$. Sea $D$ un punto en el segmento $BC$ tal que $AD$ es perpendicular a $BC$. Marcamos el punto $E$ en el segmento $AB$ de forma que $A\widehat CE=10^\circ$. Si los segmentos $AD$ y $CE$ se cortan en $F$, demostrar que $BC=CF$.
Problema 4
Se colorean todos los enteros positivos de rojo o verde de manera que se cumplan las siguientes condiciones:
- Hay al menos un número de cada color.
- La suma de tres números verdes (no necesariamente distintos) es verde.
- La suma de tres números rojos (no necesariamente distintos) es roja.
Hallar todas las posibles coloraciones que satisfacen estas condiciones.
Problema 5
Se tienen fichas de $1\times 1$ rojas y verdes, y fichas de $1\times 2$ negras. Demostrar que la cantidad de formas de completar un tablero de $1\times 2022$ divide a la cantidad de formas de completar un tablero de $1\times 4045$.
Problema 6
Hallar todos los pares $a,b$ de enteros positivos tales que se verifican simultáneamente las siguientes condiciones:
- $a^2+b$ divide a $a^2b+a$,
- $b^2-a$ divide a $ab^2+b$.
Problema 7
Sea $\omega$ el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$, $D$ es el punto medio del arco $BAC$ e $I$ es el incentro del triángulo $ABC$. La recta $DI$ corta a $BC$ en $E$ y a $\omega$ por segunda vez en $F$. Sea $P$ en $AF$ tal que $EP$ es paralela a $AI$. Demostrar que $PE$ es bisectriz de $B\widehat{P}C$.
Problema 8
Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ tales que$$f(x+f(y))=yf(xy+1)$$para todos $x,y\in \mathbb{R}^+$.