Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Selectivo de IMO • 2022


Problema 1
Para cada entero positivo $N>1$, sea $m$ su mayor divisor menor que $N$. Hallar todos los $N$ tales que $N+m$ es una potencia de $10$.

Nota: Las potencias de $10$ son $10,10^3,10^3,10^4,\ldots$

Problema 2
Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ que satisfacen $f(xf(y))=f(xy)+x$ para todos $x,y\in \mathbb{R}^+$.

Problema 3
En un polígono regular de $120$ lados hay que pintar de rojo la mayor cantidad posible de vértices de manera que no haya ningún triángulo isósceles con sus tres vértices rojos y cuyo ángulo desigual mida $18^\circ$. Determinar la mayor cantidad de vértices que se pueden pintar de rojo.

Problema 4
Sean $p$ y $q$ dos números enteros positivos. Al comienzo se escribe un $1$ en el pizarrón, y luego se repite la siguiente operación:

Elegir $p$ o $q$ y reemplazar el número escrito en el pizarrón por el número que se obtiene de sumarle al número del pizarrón el número elegido.

Hallar una condición para $p$ y $q$ que garantice que esta operación se puede repetir indefinidamente sin escribir jamás múltiplos de $p$ ni múltiplos de $q$.

Problema 5
Sea $n>10$ un número entero impar. Determinar de cuántas formas se pueden distribuir los números enteros de $1$ a $n$ inclusive alrededor de una circunferencia de manera que cada número sea divisor de la suma de su dos números vecinos, el de su derecha y el de su izquierda. (Dos formas simétricas respecto de un diámetro, se consideran iguales; dos formas que se obtienen una de rotar la otra, se consideran iguales.)

Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo isósceles, con $AB=AC$. Se consideran un punto $D$ en $AC$ y un punto $K$ en el más pequeño de los arcos $\overset{\frown}{CD}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $BCD$. La semirrecta $CK$ corta a la recta paralela a $BC$ trazada por $A$ en el punto $T$. Sea $M$ el punto medio de $DT$. Demostrar que $A\widehat KT=C\widehat AM$.

Nota: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la circunferencia que pasa por sus tres vértices.