Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2022


Problema 1
El Banco de Oslo emite dos tipos de monedas: de aluminio (denotadas por $A$) y de bronce (denotadas por $B$). Mariana tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de bronce, colocadas en una fila en un orden inicialmente arbitrario. Una cadena es una sucesión de monedas consecutivas todas del mismo tipo. Dado un entero positivo $k \leqslant 2n$, Mariana realiza repetidamente la siguiente operación: primero identifica la cadena más larga que contiene la $k$-ésima moneda desde la izquierda y después reubica todas las monedas de esa cadena al extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n=4$ y $k=4$, el proceso que comienza con el orden inicial $AABBBABA$ será $$AAB\underline{B}BABA \rightarrow BBB\underline{A}AABA \rightarrow AAA\underline{B}BBBA \rightarrow BBB\underline{B}AAAA \rightarrow BBB\underline{B}AAAA \rightarrow \cdots.$$ Hallar todas las parejas $(n,k)$ con $1 \leqslant k \leqslant 2n$ tales que, cualquiera que sea el orden inicial, en algún momento durante el proceso las $n$ monedas de la izquierda serán todas del mismo tipo.

Problema 2
Sea $\mathbb R^{+}$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f : \mathbb R^{+} \to \mathbb R^{+}$ tales que para cada $x \in \mathbb R^{+}$, existe exactamente un $y \in \mathbb R^{+}$ que satisface $xf(y) + yf(x) \leqslant 2$.

Problema 3
Sea $k$ un entero positivo y sea $S$ un conjunto finito de números primos impares. Demostrar que existe a lo sumo una manera (sin contar rotaciones y reflexiones) de colocar los elementos de $S$ alrededor de una circunferencia de modo que cada producto de dos números que son vecinos sea de la forma $x^2 + x + k$ para algún entero positivo $x$.

Problema 4
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC = DE$. Supongamos que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ tal que $TB = TD$, $TC = TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. La recta $AB$ corta a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P$, $B$, $A$, $Q$ aparecen sobre su recta en ese orden. La recta $AE$ corta a las rectas $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $R$, $E$, $A$, $S$ aparecen sobre su recta en ese orden. Demostrar que los puntos $P$, $S$, $Q$, $R$ están en una misma circunferencia.

Problema 5
Hallar todas las ternas $(a,b,p)$ de números enteros positivos con $p$ primo que satisfacen $a^p = b! + p$.

Problema 6
Sea $n$ un número entero positivo. Un cuadrado nórdico es un tablero $n \times n$ que contiene todos los números enteros del $1$ a $n^2$ de modo que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes son adyacentes si comparten un mismo lado. Una celda que solamente es adyacente a celdas que contienen números mayores se llama un valle. Un camino ascendente es una sucesión de una o más celdas tales que:
  1. la primera celda de la sucesión es un valle,
  2. cada celda subsiguiente de la sucesión es adyacente a la celda anterior, y
  3. los números escritos en las celdas de la sucesión están en orden creciente.
Hallar, como función de $n$, el menor número total de caminos ascendentes en un cuadrado nórdico.