Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Selectivo de Ibero • 2022


Problema 1
Diremos que un entero $n\geq 90$ es bueno si su anteúltimo dígito es $9$. Por ejemplo, $10798$, $1999$ y $90$ son tres enteros buenos, mientras que $9900$, $2009$ y $9$ no son buenos. Ignacio expresa a $2022$ como la suma de $k$ enteros buenos. Determinar el menor valor de $k$ para el que Ignacio puede lograr esta expresión y dar una descomposición para el valor hallado.

Problema 2
En un pizarrón hay inicialmente escritos tres enteros positivos consecutivos, $n-1,n,n+1$. Una movida consiste en elegir dos números escritos en el pizarrón, $a$ y $b$, y reemplazarlos por $2a-b$ y $2b-a$. Determinar los valores de $n$ para los que es posible obtener, luego de una sucesión de tales movidas, que dos de los números escritos en el pizarrón sean iguales a $0$.

Problema 3
Construir con regla y compás un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$ de perímetro igual a $10$ y tal que la altura trazada desde el vértice $A$ mida $2$. Indicar los pasos de la construcción y justificar por qué se satisfacen las condiciones.

Problema 4
Sea $n$ un entero positivo. Se colorea cada casilla de un tablero cuadrado de $n$x$n$ de azul o de rojo. En total hay $k$ casillas azules en el tablero, Uri escribe al lado de cada fila el número de casillas azules de esa fila, elevado al cuadrado, y debajo de cada columna el número de casillas azules de esa columna, elevado al cuadrado. Finalmente suma los $2n$ números que escribió y obtiene el resultado $A$. Luego hace esos mismos cálculos pero contando en cada caso las casillas rojas (en lugar de las azules) y obtiene el resultado $R$. Si $A-R=50$, determinar todos los posibles valores de $k$, y para cada $k$ hallado, dar un ejemplo de un posible tablero.

Problema 5
Hallar todas las temas de enteros positivos que satisfacen simultáneamente las siguientes tres condiciones

a) $a\leq b\leq c$;
b) $\operatorname{mcd}(a,b,c)=1$;
c) cada uno de los números $a^2b$, $b^2c$ y $c^2a$ divide a $a^3+b^3+c^3$.

Problema 6
Ana y Beto juegan por turnos a un juego con sus $99$ invitados (ellos no cuentan como invitados). Tienen $99$ sillas puestas en círculo; inicialmente todos los invitados están de pie. Cada jugador, en su turno, le ordena a un invitado que esté de pie que se siente en una silla vacía determinada $C$. Al mismo tiempo, si exactamente una de las sillas adyacentes a $C$ está ocupada, el invitado que la ocupa se pone de pie, y si están las dos ocupadas, el jugador decide cuál de los dos se pone de pie. Ana comienza el juego, y su objetivo es que, al cabo de algunas movidas, haya por lo menos $k$ sillas ocupadas. Determinar el mayor valor de $k$ para el que Ana puede lograr su objetivo, no importa cómo juegue Beto.