Problema 1
Un saltamontes se encuentra al inicio de un camino de $2022$ metros que conduce a su casa. Para llegar a ella el saltamontes va a ir realizando saltos hacia adelante de manera que la longitud de cada salto sea una cantidad entera (no nula) de metros y que en cada salto recorra una distancia mayor que en el salto anterior.
¿Cuántos saltos realizó el saltamontes para llegar a su casa? Dar todas las posibilidades.
Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$. Sean $E$ el punto de intersección de $BH$ con $CA$ y $F$ el punto de intersección de $CH$ con $AB$. Se sabe que $AF=FC$.
Demostrar que $FHEO$ es un paralelogramo.
Problema 3
Demostrar que existe un número natural $a$ tal que $2^{5n}+5^n\cdot a$ es un múltiplo de $999$ para todo entero positivo impar $n$. Hallar el menor valor posible de $a$ tal que se cumpla lo pedido.
Problema 4
Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_M$ números enteros no negativos tales que$$\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\cdots +\frac{1}{2^{a_M}}=1.$$Demostrar que $a_i<M$ para todo $i$.
Problema 5
Joacoini compró una casita con forma de $n$-ágono regular para su perra OMA. Joacoini, que es una persona muy apasionada por la moda, quiere decorarla pintando cada lado de rojo, azul o verde. Joacoini dice que una forma de pintar la casita es
divertida si no hay dos lados adyacentes pintados del mismo color. ¿Cuál es la cantidad de formas divertidas de pintar la casita?
Problema 6
Sea $n$ un número natural. Decimos que una permutación $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ de $1,2,\ldots ,n$ es
súper divisible si para todo entero $m$ tal que $1\leq m\leq n$ se cumple que $m$ divide a $2(a_1+a_2+\cdots +a_m)$. Determinar, para cada $n$, la cantidad de permutaciones súper divisibles.
Problema 7
Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB+AC=3BC$. El incírculo $\omega$ de $ABC$ es tangente a $CA$ y $AB$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Marcamos los puntos $P$ y $Q$ de modo que $KP$ y $LQ$ sean diámetros de $\omega$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $KL$ con $BP$ y $CQ$, respectivamente. Probar que $MX=MY$.