Problema 1
Ian tiene una calculadora muy especial. Esta calculadora permite mostrar tres números en orden y posee un único botón. Al presionar el botón, los números cambian simultáneamente de la siguiente forma:
- El primer número se reemplaza por la suma del primero y el segundo.
- El segundo número se reemplaza por la suma del segundo y el tercero.
- El tercer número se reemplaza por la suma del tercero y el primero.
De este modo, si al principio los números mostrados son $1$, $2$ y $-3$, luego de apretar el botón la pantalla mostrará los números $3$, $-1$ y $-2$.
¿Qué números mostrará la calculadora si se presiona el botón $2023$ veces y al principio los números mostrados son $1$, $2$ y $-3$?
Problema 2
En el trapecio $ABCD$ de bases $AD$ y $BC$, las diagonales se cortan en el punto $O$. Se sabe que $AO=CD$, $BC=OD$ y $AC$ es bisectriz de $B\widehat CD$. Hallar los ángulos del triángulo $ACD$.
Aclaración: La bisectriz de un ángulo es la recta que lo parte en dos ángulos iguales.
Problema 3
El Dibu tiene $33$ bolitas, numeradas del $1$ al $33$. Después de haber ganado el mundial, su próximo objetivo es lograr repartir todas las bolitas en bolsas con $3$ bolitas cada una, de manera que, en cada bolsa, los números de dos de las bolitas sumen el número de la tercera. ¿Puede el Dibu cumplir su próximo objetivo?
Problema 4
Bruno y Nico escribieron varios enteros positivos en un pizarrón. Se sabe que la suma de los números escritos por Bruno es igual a la suma de los números escritos por Nico. Además, el producto de los números escritos en el pizarrón es igual a la cantidad total de números escritos en él.
- $\text{a)}$ Probar que la cantidad de números escritos en el pizarrón es par.
- $\text{b)}$ Probar que la cantidad de números escritos en el pizarrón es múltiplo de $4$.
Problema 5
Adriano dibuja en un pizarrón un cuadrado y $9$ rectas. Cada una de las rectas divide al cuadrado en dos cuadriláteros, de áreas $78$ y $86$. Demostrar que existen $3$ de las $9$ rectas que pasan por un mismo punto.
Problema 6
Uno de los términos de una progresión aritmética de enteros positivos es un cuadrado perfecto. ¿Es necesariamente cierto que la progresión contiene infinitos cuadrados perfectos?
Aclaración: Una progresión aritmética de enteros positivos tiene términos $a,a+d,a+2d,\ldots$ (cada término es el anterior más $d$) donde $a$ y $d$ son enteros positivos.
Problema 7
Un entero positivo $n$ es
multiversal si todo entero positivo menor o igual a $n$ puede ser escrito como la suma de divisores de $n$, distintos entre sí.
Por ejemplo, los divisores de $6$ son $1$, $2$, $3$ y $6$. Y como$$1\,=\,{\bf 1}, ~~ 2\,=\,{\bf 2}, ~~ 3\,=\,{\bf 3}, ~~ 4\,=\,{\bf 1}\,+\,{\bf 3}, ~~ 5\,=\,{\bf 2}\,+\,{\bf 3}, ~~ 6\,=\,{\bf 6},$$entonces $6$ es multiversal.
Demostrar que el producto de dos números multiversales también es multiversal.
Problema 8
Juli tiene $2n$ bolitas con números escritos en ellas. Él se dio cuenta que si se dividen las $2n$ bolitas en $n$ parejas, no importa cómo, siempre hay dos parejas con la misma suma de números escritos.
- $\text{a)}$ Demostrar que hay $4$ bolitas con el mismo número escrito.
- $\text{b)}$ Demostrar que hay a lo sumo $n-1$ números distintos escritos en las bolitas.
Problema 9
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que para todos $a,b$ enteros positivos, hay dos de $f(a)$, $f(b)$, $f(a+b)$ que suman el tercero.
Problema 10
La delegación argentina en Qatar estuvo conformada por $n$ muchachos. Algunos muchachos son amigos de otros (la amistad es mutua), y en promedio cada muchacho tiene $d$ amigos. Scaloni quiere armar un grupo con algunos de los muchachos. Decimos que un muchacho del grupo está
ilusionado si tiene al menos $\dfrac{d}{2}$ amigos en el grupo.
Demostrar que Scaloni puede armar un grupo en el cual todos los muchachos están ilusionados.
Problema 11
Sea $ABC$ un triángulo con $\widehat B=2\widehat C$ y $\widehat A>90^\circ$. Sea $D$ el punto de la recta $AB$ tal que $CD$ es perpendicular a $AC$ y sea $M$ el punto medio de $BC$. Demostrar que $A\widehat MB=D\widehat MC$.
Problema 12
Sea $p$ un primo impar. Una $p$-tupla $(a_1,a_2,\ldots ,a_p)$ de números enteros se llama
copera si verifica las siguientes condiciones:
- $0\leq a_i\leq p-1$ para todo $1\leq i\leq p$.
- $a_1+a_2+\cdots +a_p$ no es divisible por $p$.
- $a_1a_2+a_2a_3+\cdots +a_{p-1}a_p+a_pa_1$ es divisible por $p$.
Determinar el numero de $p$-tuplas coperas, en función de $p$.
Problema 13
Sean $a,b,c$ números reales positivos, no todos iguales. Demostrar que$$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{bc^2+ca^2+ab^2-3abc}\geq \frac{17}{9}.$$
Problema 14
Para cada entero positivo $n$, sean $\tau (n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$ y $\sigma (n)$ la suma de los divisores positivos de $n$. Por ejemplo $\tau (6)=4$ y $\sigma (6)=1+2+3+6=12$.
Decimos que un entero positivo $n$ es
campeón mundial si $\tau (n)$ divide a $2^{\sigma (n)}-1$. Hallar todos los enteros positivos que son campeones mundiales.
Problema 15
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $S$ la intersección de sus diagonales. Demostrar que $ABCD$ tiene una circunferencia inscrita si y sólo si los incentros de $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$ son concíclicos.
Problema 16
Después de ganar el Mundial, Messi fue invitado a levantar la copa en un estadio muy particular en Qatar. Como es muy observador, Lio se dio cuenta de que el estadio tiene forma de polígono, con área $A$ y perímetro $p$. Los jeques árabes le piden a Messi que elija $n$ puntos en el interior del estadio para colocar cámaras que lo filmarán levantando la copa. Para que la filmación sea óptima, cualesquiera dos de los puntos elegidos por Messi tienen que estar a distancia mayor o igual a $1$. Demostrar que si se cumplen estos requisitos, entonces necesariamente$$n\leq \frac{2}{\sqrt{3}}A+\frac{1}{2}p+1.$$