Problema 1
Se tienen $400$ monedas en apariencia iguales, pero entre ellas hay $2$ falsas, una que es más pesada que las auténticas y otra que es más liviana que las auténticas. Mostrar de qué manera, utilizando cuatro o menos veces una balanza de dos platos, se puede determinar con certeza si el peso conjunto de las dos monedas falsas es mayor, es menor o es igual al peso conjunto de dos monedas auténticas.
Nota. La balanza de dos platos solo indica si los objetos colocados en el plato izquierdo pesan más, pesan menos o pesan igual que los colocados en el plato derecho.
Problema 2
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $A\widehat{B}C=B\widehat{C}D$. Las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en $P$, y la recta paralela a $AB$, trazada por $P$, corta a la recta $BD$ en $T$. Demostrar que $A\widehat{C}B=P\widehat{C}T$.
Problema 3
Diremos que un número entero positivo es
lindo si todos sus dígitos son distintos de cero y además tiene un dígito $b$ tal que si se suprime el dígito $b$ el número resultante (de un dígito menos) es divisor de $n$. Demostrar que solo hay una cantidad finita de números lindos.
Aclaración. $n=\overline{abc}$ donde $a$ y $c$ on números de uno o más dígitos y $b$ es un dígito.
Problema 4
Sea $n$ igual a la multiplicación de $k$ primos positivos distintos, $n=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k$, con $k>1$. Hallar todos los valores de $n$ para los cuales $n$ es simultáneamente múltiplo de $p_i-1$ para $i=1,2,\ldots,k$ (es decir, $n$ es múltiplo de los $k$ números $p_1-1$, $p_2-1$, ..., $p_k-1$).
Problema 5
Un tablero de $222\times 222$ se cubre con tetraminós de dos tipos, sin huecos ni superposiciones.
problema5.jpeg
(Cada tetraminó se puede girar o dar vuelta)
Determinar la menor cantidad de tetraminós Z que se pueden usar.
Problema 6
Sea $p=(a_1,a_2,\ldots,a_{12})$ una permutación de los números $1,2,\ldots,12$. Definimos $S_p=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\ldots+|a_{11}-a_{12}|$, (por ejemplo, si $p=(5,4,3,2,1,6,12,11,10,9,8,7)$ entonces $S_p=1+1+1+1+5+6+1+1+1+1+1=20$).
Diremos que $p$ es
optimista si para todo $i$, $i=2,3,\ldots,11$, se verifica que $a_i$ es mayor que el mínimo entre $a_{i-1}$ y $a_{i+1}$ (es decir, $a_2>\text{min}\{a_1,a_3\}$, $a_3>\text{min}\{a_2,a_4\}$, $a_4>\text{min}\{a_3,a_5\}$, ..., $a_{11}>\text{min}\{a_{10},a_{12}\}$).
a) Hallar el máximo valor posible de $S_p$ y determinar para cuántas permutaciones $p$ se alcanza ese máximo.
b) ¿Cuántas son las permutaciones optimistas?
c) Determinar el valor máximo de $S_p$ para una permutación optimista $p$. ¿Para cuántas permutaciones optimistas se logra ese máximo?