Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Selectivo IMO • 2023


Problema 1
Demostrar que un cuadrado de lado $100$ se puede dividir exactamente en $30$ cuadrados de manera que por lo menos uno de los cuadrados de la división sea de lado menor que $1$.

Problema 2
Para cada entero positivo $n$ designamos $I_n$ al conjunto de los números enteros desde el $1$ hasta $n$ y sea $P_n$ el conjunto de todos los subconjuntos de $I_n$. Por ejemplo, si $n=3$ entonces $P_3$ es un conjunto de $8$ elementos: $\varnothing$ (vacío) $,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}$.
Se quiere distribuir todos los elementos de $P_n$ en $m$ grupos de manera que si dos conjuntos $A$ y $B$ son distintos entonces los conjuntos $A,B$ y $A\cup B$ no están los tres en el mismo grupo.
Para cada $n$, hallar el mínimo valor de $m$ para el que se puede hacer la distribución.
Nota. $A\cup B$ es el conjunto formado por todos los elementos de $A$ y todos los elementos de $B$. Por ejemplo, $\{1,5\}\cup \{3\}=\{1,3,5\}$; $\{1,5\}\cup \{2,5\}=\{1,2,5\}$; $\{1,5\}\cup \varnothing=\{1,5\}$.

Problema 3
En una semicircunferencia de diámetro $AB$ y centro $O$ se marca un punto $D$. Sean $E$ el punto medio del arco $AD$ y $F$ el punto medio del arco $BD$. Se sabe que el punto $O$ pertenece a la recta determinada por los ortocentros de los triángulos $ADF$ y $BDE$. Hallar todos los valores posibles del ángulo $A\widehat OD$.
Nota. El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus alturas.

Problema 4
Hay $n$ estudiantes y $29$ pizarrones. Cada estudiante escribió uno de los números $1$, $2$ o $3$ en cada uno de los pizarrones (un mismo estudiantes puede haber escrito distintos números en distintos pizarrones). Se observó que
  • Cada dos estudiantes hay por lo menos un pizarrón en el que los números que escribieron esos dos estudiantes son distintos.
  • Cada tres estudiantes hay por lo menos un pizarrón en el que los tres estudiantes escribieron el mismo número.
Determinar el mayor valor posible de la cantidad de estudiantes $n$.

Problema 5
Demostrar que para cada entero positivo $n$ hay por lo menos un entero positivo de $n$ dígitos que solo contiene dígitos $1$ y $2$ y es divisible por $2^n$.

Problema 6
Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ que satisfacen $f\left (\frac{f(x)}{x}+y \right )=1+f(y)$ para todos $x,y$ reales positivos.