Problema 1
Determina todos los enteros compuestos $n>1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $d_1, d_2,..., d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1=d_1<d_2<\cdots <d_k=n$, entonces $d_i$ divide a $d_{i+1}+d_{i+2}$ para cada $1\leq i\leq k-2$.
Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$. Sea $\Omega$ el circuncírculo de $ABC$. Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$. La perpendicular por $A$ a $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a $\Omega$ de nuevo en $E\neq A$. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $BE$ en $L$. Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $BDL$. Las circunferencias $\omega$ y $\Omega$ se cortan de nuevo en $P\neq B$.
Demuestra que la recta tangente a $\omega$ en $P$ corta a la recta $BS$ en un punto de la bisectriz interior del ángulo $\angle BAC$.
Problema 3
Para cada entero $k\geq 2$, determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1,a_2,\ldots $ para las cuales existe un polinomio $P$ de la forma $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots +c_1x+c_0$, con $c_0,c_1,\ldots ,c_{k-1}$ enteros no negativos, tal que$$P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$$para todo entero $n\geq1$.
Problema 4
Sean $x_1,x_2,\ldots ,x_{2023}$ números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que$$a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots +x_n)\left (\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}\right )}$$es entero para todo $n=1,2,\ldots ,2023$. Demuestra que $a_{2023}\geq 3034$.
Problema 5
Sea $n$ un entero positivo. Un
triángulo japonés consiste en $1+2+\cdots +n$ círculos iguales acomodados en forma de triángulo equilátero de modo que para cada $i=1,2,\ldots ,n$, la fila número $i$ contiene $i$ círculos, de los cuales exactamente uno de ellos se pinta de rojo. Un
camino ninja en un triángulo japonés es una sucesión de $n$ círculos que comienza con el círculo de la fila superior y termina en la fila inferior, pasando sucesivamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él. En el siguiente dibujo se muestra un ejemplo de un triángulo japonés con $n=6$, junto con un camino ninja en ese triángulo que contiene dos círculos rojos.
IMO 2023 P5 - Enunciado.png
En términos de $n$, determina el mayor $k$ tal que cada triángulo japonés tiene un camino ninja que contiene al menos $k$ círculos rojos.
Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1=A_1C$, $CB_1=B_1A$, $AC_1=C_1B$, y$$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ .$$Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, las rectas $CA_1$ y $AC_1$ se cortan en $B_2$, y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ se cortan en $C_2$.
Demuestra que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todos por dos puntos comunes.
(Nota: un triángulo escaleno es un triángulo cuyos tres lados tienen longitudes distintas.)