Problema 1
a) Hallar todos los tríos de números primos $(p,q,r)$ tales que se verifica simultáneamente
- $p+q+r$ no es múltiplo de $3$;
- $p+q+r$ y $pq+qr+rp+3$ son dos cuadrados perfectos.
b) Determinar si hay algún trío de números primos $(p,q,r)$ tales que se verifica simultáneamente
- $p+q+r$ es múltiplo de $3$;
- $p+q+r$ y $pq+qr+rp+3$ son dos cuadrados perfectos.
Problema 2
En un tablero de $55×55$ se colorean $900$ figuras: $400$ de ellas son figuras de la forma (ver imagen) y las otras $500$ son casillas unitarias. Los lados de las figuras están contenidos en líneas de la cuadrícula y no hay dos figuras que compartan alguna casilla. Demostrar que al menos dos de estas figuras comparten un segmento unitario de sus respectivos bordes.
Nota. Las figuras pueden estar rotadas.
Sel Ibero - L.jpg
Problema 3
En el triángulo $ABC$ la bisectriz del ángulo $A\widehat{C}B$ corta al lado $AB$ en $D$. Sea $\omega$ una circunferencia de centro $O$ que pasa por $C$ y $D$ y corta a los lados $BC$ y $AC$ en $M$ y $N$ $(M \neq C, N \neq C)$ respectivamente.
a) Determinar el centro $T$ de una circunferencia $\Omega$ tal que $DM$ es tangente a $\Omega$ en $M$ y $DN$ es tangente a $\Omega$ en $N$.
b) Si $\Omega$ corta nuevamente a las rectas $BC$ y $AC$ en $P$ y $Q$ respectivamente, demostrar que $MP=NQ$ y son constantes al variar la circunferencia $\omega$.
Problema 4
Sobre la mesa hay $100$ tarjetas que tienen escritos los números enteros de $1$ a $100$ (un número en cada tarjeta). Ana y Beto toman de la mesa la misma cantidad de tarjetas de modo que se cumpla la siguiente condición: si Ana tiene la tarjeta con un número $n$ entonces Beto tiene la tarjeta con el número $2n+2$. Determinar el máximo número de tarjetas que pueden tener, en conjunto, los dos amigos.
Problema 5
Hallar todos los polinomios $P(x)$ tales que para todo número real $x$ se verifica que$$(x-1)P(x+1)-(x+1)P(x-1)=4P(x).$$
Problema 6
Se tiene un polígono regular de $n$ vértices. En cada vértice del polígono está inicialmente escrito el número 1. Cada operación permitida consiste en elegir tres vértices consecutivos del polígono, $P, Q, R,$ y si en ese momento los números asignados son $a, b, c,$ respectivamente, reemplazarlos por $a-x, b+|x-y|, c-y$ respectivamente donde $x, y$ son dos números reales positivos (que pueden ser iguales) y satisfacen que $\frac{x}{2} \leq y \leq 2x, a-x \geq 0, c-y \geq 0$. En cada operación $x$ e $y$ pueden variar.
a) El objetivo es lograr que, mediante una sucesión de operaciones permitidas, en algún momento haya por lo menos un vértice que tenga asignado un número mayor a $\frac{3}{2}$.
Determinar si es posible lograrlo.
b) El objetivo es lograr que, mediante una sucesión de operaciones permitidas, en algún momento haya por lo menos un vértice que tenga asignado un número mayor a $\frac{5}{3}$.
Determinar si es posible lograrlo.