Problema 1
Se tienen los enteros positivos del $1$ al $999$ escritos en un pizarrón. Drácula cuenta los números escritos cuyo cuadrado perfecto más cercano es impar, y Nosferatu cuenta los números escritos cuyo cuadrado perfecto más cercano es par. ¿Cuál de los dos vampiros contó más números?
Aclaración: Un cuadrado perfecto es un número de la forma $n^2$, donde $n$ es un número entero. Los primeros cuatro cuadrados perfectos son $0=0^2$, $1=1^2$, $4=2^2$ y $9=3^2$.
Problema 2
El dueño de la casa embrujada está decidiendo a qué $66$ monstruos pondrá para asustar a sus clientes. Tiene una momia, cuatro esqueletos, $666$ zombies y $666$ hombres lobo. El único requerimiento es que haya una cantidad par de zombies y una cantidad múltiplo de $5$ de hombres lobo. El disfraz del dueño no le permite ver muy bien, de modo que dos monstruos del mismo tipo le resultan indistinguibles entre sí, por lo que sólo le importa la cantidad de monstruos de cada tipo que va a usar. Determinar cuántas formas tiene el dueño de elegir los $66$ monstruos.
Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ y sea $D$ el punto del lado $AB$ que cumple que $MD$ es perpendicular a $AB$. El punto $K$ está en el lado $AB$ y cumple que $BD=DK$ y $DM=AK$. El punto $P$ está en el interior del triángulo $ABC$ y cumple que $KP=BD$ y $KP$ es perpendicular a $AB$. Demostrar que $BP$ es perpendicular a $CA$.
Problema 4
Hay algunas monedas (con dos caras, $A$ y $B$) en una fila. Sobre cada moneda de cara $A$, se escribe la cantidad de monedas de cara $B$ que tiene a su izquierda. Se suman esos números y da $136$. Se hace lo mismo para las monedas de cara $B$, con las monedas de cara $A$ que tienen a su izquierda, y da $153$. Si las primeras dos monedas no tienen la misma cara hacia arriba, determinar la cantidad de monedas en la fila.
Problema 5
Las fiestas de la OMA son legendarias, de modo que lleva un gran trabajo mantenerlas a la altura de su historia. Con este objetivo, a la hora de celebrar Halloween, los exolímpicos consiguieron un tablero gigante con más columnas que filas, colocaron calabazas en algunas de sus casillas, y desafiaron a los olímpicos a pintar de naranja algunas columnas del tablero (al menos una) de modo que en cada fila la cantidad de calabazas en casillas naranjas sea par. Demostrar que los olímpicos siempre pueden lograr su objetivo.
Problema 6
Hallar todos los polinomios no constantes$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$$con coeficientes enteros con raíces $a_0,a_1,\ldots ,a_{n-1}$ (contadas con multiplicidad).
Problema 7
Un pentágono tiene una circunferencia circunscrita y una circunferencia inscrita. Demostrar que existen dos circunferencias tales que el incentro del triángulo formado por cualesquiera tres vértices del pentágono pertenece a una de estas dos circunferencias.