Problema 1
Melina tiene $5$ monedas blancas, todas auténticas y $5$ monedas azules, $3$ de ellas auténticas y $2$ falsas. Ella sabe que las $8$ monedas auténticas pesan lo mismo y que una de las falsas pesa un gramo más que una auténtica y la otra falsa pesa un gramo menos que una auténtica.
Decidir si ella puede determinar con certeza, usando hasta tres veces una balanza de dos platos, cuáles son las monedas falsas, indicando cuál pesa más y cuál pesa menos.
Problema 2
En las casillas de un tablero de $8 \times 8$ Facu escribió en algún orden los números de $1$ a $64$, uno en cada casilla, sin repeticiones. Decimos que un número es
bueno si es el mayor número de su fila y también es el menor número de su columna.
- Decidir si se puede afirmar que en el tablero de Facu hay por lo menos un número bueno.
- Decidir si se puede afirmar que en el tablero de Facu hay como mucho un número bueno.
Problema 3
Sea $ABCD$ un trapecio de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, con $BC$ paralelo a $AD$, tal que $C \widehat{A} D = 30^{\circ}$. Se sabe que la diagonal $BD$ satisface $BD = \frac{BC+AD}{2}$.
Si las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $M$, calcular el ángulo $A \widehat{M} B$.
Problema 4
$a)$ Determinar un conjunto $A$ de $10$ enteros positivos distintos tal que ningún grupo de $6$ de ellos tenga suma divisible por $6$.
$b)$ ¿Es posible que un conjunto $B$ de $11$ enteros positivos sea tal que ningún grupo de $6$ de ellos tenga suma divisible por $6$?
Problema 5
Diremos que un conjunto de enteros positivos distintos, que tiene por lo menos dos enteros positivos, es
centenario si el mayor de los números es $100$. El
promedio de un conjunto centenario es el promedio de sus números. Por ejemplo, el promedio del conjunto $\{1,2,20,100\}$ es
$\frac{123}{4}$ y el promedio del conjunto $\{74,90,100\}$ es $88$.
Determinar todos los números enteros que se pueden obtener como el promedio de un conjunto centenario.
Problema 6
Ocho jueces califican a los participantes de un concurso con $1$ o $0$. Se sabe que para cada dos participantes: hay dos jueces que calificaron a ambos con $1$; hay dos jueces que calificaron al primero con $1$ y al segundo con $0$; hay dos jueces que calificaron al primero con $0$ y al segundo con $1$; y finalmente hay dos jueces que calificaron a ambos con $0$. Determinar el máximo número posible de participantes en el concurso.