Problema 1
Sea $n\geq 3$ un entero. Consideramos un tablero cuadrado de $n\times n$ casillas. En cada paso cambiamos el color de las $5$ casillas que conforman una figura como la que se muestra (las casillas blancas pasan a ser negras y las negras pasan a ser blancas). La figura se puede rotar $90^\circ$, $180^\circ$ o $270^\circ$.
Inicialmente todas las casillas son blancas. Determinar para qué valores de $n$ se puede lograr, mediante una sucesión de pasos, que todas las casillas del tablero sean negras.
Problema 2
Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que todos los factores primos de $2^n - 1$ son menores o iguales que $7$.
Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $\Omega$ la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$. La recta $AM$ corta a $\Omega$ en el punto $P$. Sea $AF$ la altura del triángulo, con $F$ en $BC$, y sea $H$ el punto de intersección de las tres alturas del triángulo. Las semirrectas $MH$ y $PF$ cortan a $\Omega$ en $K$ y $T$ respectivamente. Demostrar que la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $KTF$ es tangente a $BC$.
Problema 4
Diremos que un número primo (positivo) es
bueno si es igual a la resta de dos cubos enteros positivos. Por ejemplo: $7$ es un primo bueno pues $2^3-1^3=7$.
Determinar cuánto puede valer el último dígito de un primo bueno. Dar todas las posibilidades.
Problema 5
Sea $n$ un entero positivo. Beto escribe en el pizarrón una lista de $n$ enteros no negativos. Luego él realiza una sucesión de movidas (de dos pasos) del siguiente tipo:
Primero para cada $i = 1,2,...,n$, él cuenta cuántos números del pizarrón son menores o iguales que $i$.
Sea $a_i$ el número obtenido para cada $i = 1,2,...,n$.
A continuación, borra todos los números del pizarrón y escribe los números $a_1, a_2,...,a_n$.
Por ejemplo, si $n = 5$ y los números iniciales del pizarrón son $0, 7, 2, 6, 2$, al cabo de la primera movida los números del pizarrón serán $1, 3, 3, 3, 3;$ después de la segunda movida serán $1, 1, 5, 5, 5$, y así siguiendo.
$a)$ Demostrar que, para todo $n$ y para toda configuración inicial, llegará un momento a partir del cual los números ya no se modificaran más al utilizar esta movida.
$b)$ Hallar (en función de $n$) el mínimo valor de $k$ tal que, para toda configuración inicial, las movidas realizadas a partir de la movida número $k$ no cambiarán los números del pizarrón.
Problema 6
En un torneo de ping pong participan $n \geq 3$ jugadores que llamaremos $1,2, \dots, n$. Las reglas del torneo son las siguientes: al comienzo, los jugadores están en una fila, ordenados de $1$ a $n$. Los jugadores $1$ y $2$ juegan el primer partido. El ganador queda al comienzo de la fila y el perdedor se coloca detrás del último de la fila. En la siguiente jugada, se enfrentan los dos que en ese momento son los primeros dos de la fila, el ganador queda primero en la fila y el perdedor va al final de la fila, justo detrás del último perdedor. Y así siguiendo. Al cabo de $N$ partidos, el torneo finaliza. El jugador $1$ ha ganado $a_1$ partidos, el jugador $2$ ha ganado $a_2$, y así siguiendo hasta el jugador $n$, que ha ganado $a_n$ partidos (es obvio que $a_1+a_2+ \dots + a_n=N$). Determinar cuántos partidos ha perdido cada jugador, en función de $a_1,a_2, \dots, a_n$.