Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2010


Problema 1
Determine todas las funciones [math] tales que
[math]
para todos los números [math]. ([math] denota el mayor entero que es menor o igual a [math].)

Problema 2
Sea [math] un triángulo, [math] su incentro y [math] su circunferencia circunscrita. La recta [math] corta de nuevo a [math] en [math]. Sean [math] un punto en el arco [math] y [math] un punto en el lado [math] tales que
[math]
Sea [math] el punto medio del segmento [math]. Demuestre que las rectas [math] y [math] se cortan sobre [math].

Problema 3
Sea [math] el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones [math] tales que
[math]
es un cuadrado perfecto para todo [math].

Problema 4
Sea [math] la circunferencia circunscrita al triángulo [math] y [math] un punto en el interior del triángulo. Las rectas [math], [math] y [math] cortan de nuevo a [math] en los puntos [math], [math] y [math], respectivamente. La recta tangente a [math] en [math] corta a la recta [math] en [math]. Si se tiene que [math], demuestre que [math].

Problema 5
En cada una de las seis cajas [math] hay inicialmente sólo una moneda. Se permiten dos tipos de operaciones:

[math]: Elegir una caja no vacía [math], con [math]. Retirar una moneda de [math] y añadir dos monedas a [math].

[math]: Elegir una caja no vacía [math], con [math]. Retirar una moneda de [math] e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) [math] y [math].

Determine si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas [math] vacías y a la caja [math] con exactamente [math] monedas. (Observe que [math].)

Problema 6
Sea [math] una sucesión de números reales positivos. Se tiene que para algún entero positivo [math],

[math] max[math] tal que [math]

para todo [math]. Demuestre que existen enteros positivos [math] y [math], con [math], tales que [math] para todo [math].