Archivo de Enunciados • Competencias de OMAForos • FOFO • Pascua 2024


Problema 1
Sea $ABCD$ un paralelogramo. Se marca el punto $K$ en el lado $BC$ y se marca el punto $L$ en el lado $CD$ de modo que se cumpla que $AB+BK=AD+DL$. Demostrar que la bisectriz del ángulo $B\widehat AD$ es perpendicular a la recta $KL$.

Problema 2
Sean $a,b,c$ enteros mayores o iguales que $-1$, uno de los cuales no es $0$, tales que$$a+2b+4c=0.$$Demostrar que $a+b+c>0$.

Problema 3
Sea $n\geq 2$ un entero. En un tablero de $n\times n$ hay $n$ torres distribuidas de modo que ninguna torre ataca a otra. En un determinado momento, todas las torres se mueven al mismo tiempo a una casilla adyacente (que comparte un lado) a la casilla en la que se encuentra. Determinar todos los $n$ tales que es posible colocar las torres de modo que luego del movimiento ninguna torre ataque a otra.

Problema 4
Encontrar el menor $m>1$ entero que satisface que $11\ldots 11=m\cdot 11\ldots 11$, donde ambos factores tienen una cantidad mayor a $1$ de unos.

Problema 5
En una isla donde viven caballeros (que siempre dicen la verdad) y mentirosos (que siempre mienten) se jugó un torneo de tenis, del que participaron exactamente $100$ habitantes. Cada par de participantes se enfrentó entre sí exactamente una vez. Después del torneo, cada participante declaró: "He derrotado igual cantidad de caballeros que de mentirosos''. Determinar la mayor cantidad posible de caballeros en el torneo.

Problema 6
Decimos que un entero positivo $n$ es bromista si se cumple que$$\frac{15(n!)^2+1}{2n-3}$$es entero. Determinar todos los enteros positivos bromistas.

Problema 7
Hallar todos los enteros positivos $d$ tales que existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes enteros tales que $|P(m)|=1$ para al menos $d+1$ enteros $m$.

Problema 8
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<CA$ y sea $\Omega$ su circuncírculo. Sean $P$ el punto medio del arco $BC$ de $\Omega$ que no contiene a $A$ y $Q$ el punto medio del arco $BC$ de $\Omega$ que contiene a $A$. La perpendicular a $CA$ por $Q$ corta a $CA$ en el punto $M$. Demostrar que el circuncírculo de $ABM$ pasa por el punto medio de $AP$.

Problema 9
En Argentina hay $n$ ciudades. Algunos pares de ciudades están conectados por vuelos unidireccionales operados por Aerolíneas Argentinas ($A$), por Flybondi ($B$), o por ambas. Dos ciudades pueden ser conectadas por vuelos en ambas direcciones y más de un vuelo por cada dirección.
Una palabra es una sucesión finita de letras $A$ y $B$. La longitud de una palabra es la cantidad total de letras que usa. Una palabra $p$ es implementable si existe una sucesión de vuelos conectados (el destino de cada vuelo tiene que ser el origen del siguiente) cuyas compañías, en orden, forman la palabra $p$.
Suponiendo que toda palabra de longitud $2^n$ es implementable, demostrar que toda palabra de cualquier longitud finita es implementable.