Problema 1
Sea $P(x)$ un polinomio de grado $101$ con cada coeficiente igual a $0$ o a $1$. Además, $P(0)=1$. Demostrar que para cada raíz real $\alpha$ de $P(x)$ vale que $\alpha <\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo tal que $C\widehat AB=30^\circ$ y $A\widehat CB=60^\circ$. Sea $D$ un punto de la recta $AB$ tal que los puntos $A,B,D$ estén en ese orden sobre la recta. Sea $E$ el punto de la recta $CB$ tal que $B\widehat DE=60^\circ$ y que los puntos $C,B,E$ estén en ese orden sobre la recta. Las rectas $AC$ y $DE$ se cortan en $F$. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo $AEF$ pasa además por un punto fijo, distinto de $A$, y que no depende de la elección de $D$.
Aclaración: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por sus tres vértices.
Problema 3
Ana y Beto juegan un juego por turnos. Cada uno en su turno debe dibujar un segmento del plano de longitud $1$. Ana dibuja el primer segmento y a partir de ahí, cada uno en su turno debe comenzar un nuevo segmento en el punto final del segmento que lo precede. Cuando alguno dibuja un segmento que corta a otro de los segmentos ya dibujados en el menos un punto que no sea uno de sus extremos, pierde el juego.
a) Demostrar que tanto Ana como Beto pueden jugar para que el juego finalice si no les importa quién será el ganador.
b) ¿Hay alguno de los dos que tenga una estrategia ganadora?
Problema 4
Dados $2024$ números reales no negativos $x_1,x_2,\ldots ,x_{2024}$ que satisfacen $x_1+x_2+\cdots +x_{2024}=1$, hallar el máximo número posible de pares ordenados $(i,j)$ que satisfacen$$x_i^2+x_j\geq \frac{1}{2023}.$$
Problema 5
Consideramos la sucesión infinita de números enteros positivos $a_n$ que para cada $n\geq 3$ satisface$$a_n=a_1\cdot a_2+a_2\cdot a_3+\cdots +a_{n-2}\cdot a_{n-1}-1.$$a) Demostrar que hay al menos un número primo que es un divisor de infinitos términos de esta sucesión.
b) Demostrar que hay infinitos números primos tales que cada uno de ellos es un divisor de infinitos términos de esta sucesión.
Problema 6
Se tienen $1001$ tarjetas con los números $1,2,3,\ldots ,1001$ escritos en azul (un número por tarjeta). Ana distribuye las tarjetas boca abajo alrededor de una circunferencia. A continuación, para cada tarjeta $C$, Ana considera las $500$ tarjetas que siguen a $C$ en el sentido de las agujas del reloj y cuenta cuántas de estas tarjetas tienen el número azul mayor que el número azul de $C$ y escribe ese número en el lado blanco de $C$ con color rojo. Beto ve los números rojos y sabe su significado, pero no ve ningún número azul. Demostrar que Beto puede deducir qué número azul tiene cada tarjeta.