Problema 1
Dos enteros distintos $u$ y $v$ están escritos en la pizarra. Realizamos una serie de pasos. En cada paso hacemos una de las siguientes acciones:
$(i)$ Si $a$ y $b$ son enteros distintos en la pizarra, entonces podemos escribir $a+b$ en la pizarra, si no está ya escrito.
$(ii)$ Si $a$, $b$ y $c$ son tres enteros distintos en la pizarra, y $x$ es un entero que satisface $ax^2+bx+c=0$, entonces podemos escribir $x$ en la pizarra, si no está ya escrito.
Determine todas las parejas iniciales de números $(u,v)$ para las cuales cualquier entero se puede escribir en la pizarra después de un número finito de pasos.
Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo con $AC>AB$, y denotamos su circunferencia circunscrita por $\Omega$ y su incentro por $I$. Sean $D,E,F$ los puntos de intersección de la circunferencia inscrita con los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Sean $X$ e $Y$ dos puntos en los arcos más cortos $\overparen{DF}$ y $\overparen{DE}$ de la circunferencia inscrita, respectivamente, tales que $B\widehat XD=D\widehat YC$. Las rectas $XY$ y $BC$ se intersecan en $K$. Sea $T$ el punto en $\Omega$ tal que $KT$ es tangente a $Ω$ y $T$ está en el mismo lado de la recta $BC$ que $A$. Demuestre que las rectas $TD$ y $AI$ se intersecan en $\Omega$.
Problema 3
Decimos que un entero positivo $n$ es
peculiar si, para cualquier divisor positivo $d$ de $n$, el entero $d(d+1)$ divide a $n(n+1)$. Demuestre que para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A$, $B$, $C$ y $D$, se cumple lo siguiente:$$\operatorname{mcd}(A,B,C,D)=1.$$
Aquí $\operatorname{mcd}(A,B,C,D)$ es el mayor entero positivo que divide a $A$, $B$, $C$ y $D$.
Problema 4
Para una sucesión $a_1<a_2<\cdots <a_n$ de enteros, decimos que una pareja $(a_i,a_j)$ con $1\leq i<j\leq n$ es
interesante si existe una pareja de enteros $(a_k,a_\ell )$ con $1\leq k<\ell \leq n$ tal que$$\frac{a_\ell -a_k}{a_j-a_i}=2.$$Para cada $n\geq 3$, encontrar el mayor número posible de parejas interesantes en una sucesión de longitud $n$.
Problema 5
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que para toda pareja de enteros positivos $(x,y)$ se cumplen las siguientes condiciones:
(i) $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos.
(ii) Si $x$ no divide a $y$ e $y$ no divide a $x$, entonces$$\operatorname{mcd}(f(x),f(y))>f(\operatorname{mcd}(x,y)).$$
Aquí $\operatorname{mcd}(m,n)$ es el mayor entero que divide a $m$ y $n$.
Problema 6
Encontrar todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que $P(1),P(2),\ldots ,P(d^2-d)$ son a lo sumo $d$ valores distintos.