Problema 1
En los vértices de un polígono regular de $31$ lados se escribieron los números enteros del $1$ al $31$, sin repetir, ordenados en forma creciente en el sentido de las agujas del reloj.
La operación permitida consiste en borrar los tres números de tres vértices, $a,b,c$, a elección, y reemplazarlos, respectivamente, por $c,a-\frac{1}{10},b+\frac{1}{10}$.
Demostrar que usando repetidas veces operaciones permitidas es posible lograr que los números asignados a los vértices sean los enteros del $1$ al $31$, sin repetir, ordenados en forma creciente en el sentido contrario al de las agujas del reloj
Aclaración: En cada operación, los vértices elegidos no son necesariamente consecutivos ni están necesariamente ordenados. Por ejemplo, en la primera operación se podría reemplazar $3,14,1$ por $1,3-\frac{1}{10}=\frac{29}{10},14+\frac{1}{10}=\frac{141}{10}$, respectivamente.
Problema 2
Dos jugadores juegan en una grilla de
[math]m + 1 líneas horizontales y
[math]m líneas verticales (con
[math]m(m + 1) puntos de intersección). Se coloca una ficha en un punto de intersección, y luego, por turnos, los jugadores mueven la ficha a un punto adyacente, siguiendo una línea de la grilla que no haya sido usada anteriormente por alguno de los dos jugadores. Pierde el primer jugador que, en su turno, no pueda realizar una jugada. Demostrar que si la ficha se encuentra inicialmente en un punto de la línea horizontal inferior (borde de la grilla) el primer jugador tiene estrategia para ganar.
Problema 3
Sea
[math]ABC un triángulo isósceles con
[math]AC = BC. La circunferencia inscrita es tangente a los lados
[math]AB y
[math]BC en
[math]D y
[math]E, respectivamente. Una recta (distinta de
[math]AE) pasa por
[math]A y corta a la circunferencia inscrita en
[math]F y
[math]G. Las rectas
[math]EF y
[math]EG cortan a la recta
[math]AB en
[math]K y
[math]L, respectivamente. Demostrar que
[math]DK = DL.
Problema 4
Hallar todas las parejas de enteros positivos $x,y$ tales que$$\frac{xy^2}{x+y}$$es un número entero primo.
Problema 5
Dados
[math]a y
[math]k enteros positivos, un programa de computadora genera una sucesión infinita de números, de acuerdo con la siguiente regla:
El primer número es
[math]a, y a partir de allí, luego de generar el número
[math]x, el siguiente número que genera es igual a
[math]x+kp(x), donde
[math]p(x) indica el producto de los dígitos de
[math]x (por ejemplo,
[math]p(413) = 12;
[math]p(308) = 0).
Demostrar que se pueden elegir
[math]a y
[math]k para que la sucesión tenga exactamente
[math]100 números distintos.
Problema 6
En un grupo de
[math]2009 personas, cada par de personas tienen exactamente un amigo común. Sea
[math]M el número de amigos de la (o las) persona con más amigos, y
[math]m el número de amigos de la (o las) persona con menos amigos. Determinar los posibles valores de
[math]M - m.