Problema 1
En una isla viven $200$ personas: $100$ sinceros, que siempre dicen la verdad, y $100$ mentirosos, que siempre mienten. Cada una tiene por lo menos una persona amiga en la isla. Cierto día, $100$ personas afirmaron, cada una, “todos mis amigos son sinceros” y las otras $100$ personas afirmaron, cada una, “todos mis amigos son mentirosos”. Si se forman todos los pares de amigos integrados por una persona sincera y la otra mentirosa, determinar la menor cantidad de estos pares que puede haber.
Aclaración: Si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$. Cada persona puede integrar más de un par.
Problema 2
Sean
[math]p,
[math]q y
[math]r tres primos tales que
[math]p<q<r . Si
[math]2p^2 - r^2 \geq 49 y
[math]2q^2-r^2 \leq 193, hallar los posibles valores de
[math]p,
[math]q y
[math]r.
Problema 3
Determinar si es posible cubrir un cuadrado de lado
[math]2,1 con
[math]7 cuadrados de lado
[math]1. (Los cuadrados de lado
[math]1 se pueden girar y pueden superponerse.)
Problema 4
Freddy escribió en cada casilla de un tablero de $10\times 10$ un número entero del $1$ al $10$ inclusive, de modo que los números de casillas adyacentes (con un lado o un vértice común) son coprimos. Demostrar que hay un número que se repite al menos $17$ veces.
Aclaración: Dos números son coprimos si su máximo común divisor es $1$.
Problema 5
Sea $ABCD$ un cuadrado y $E$ un punto del lado $BC$. El segmento $AE$ corta a la diagonal $BD$ en $G$. Sea $F$ en el lado $CD$ tal que $FG$ es perpendicular a $AE$, y sea $K$ en $FG$ tal que $AK=FE$. Calcular la medida del ángulo $F\widehat KE$.
Problema 6
Sea $m$ un entero positivo y $U$ el número formado por $m$ dígitos $1$:$$U=\underbrace{11\cdots 1}_{m\ \text{veces}}.$$Si $A$ es un múltiplo de $U$, determinar el menor valor que puede tener la suma de los dígitos de $A$.