Problema 1
Hallar todos los números primos positivos $p,q$ que satisfacen la ecuación$$p(p^4+p^2+10q)=q(q^2+3).$$
Problema 2
Sobre un tablero de $5\times 5$ se colocan fichas formadas por $4$ casillas, como se ve en la figura, cubriendo exactamente $4$ casillas del tablero. Las fichas se pueden rotar o dar vuelta. También se pueden superponer, pero no pueden sobresalir del tablero. Supongamos que cada casilla del tablero esta cubierta por a lo más dos fichas. Hallar el numero máximo de casillas del tablero que pueden estar cubiertas (por una o por dos fichas).
Problema 3
Sea $ABC$ un triangulo acutángulo con sus tres lados distintos y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. La bisectriz del ángulo $B\widehat AC$, la mediatriz del lado $AB$ y la mediatriz del lado $AC$ definen un nuevo triangulo. Sea $H$ el punto de intersección de las tres alturas de este nuevo triangulo. Demostrar que $H$ pertenece al segmento $AM$.
Aclaración: La
mediatriz de un segmento es la perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
Problema 4
Determinar todos los números enteros $n\geq 2$ tales que existen dos permutaciones $(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ y $(b_1,b_2,\ldots ,b_n)$ de los números $1,2,\ldots ,n$ que satisfacen que los $n$ números $(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots ,a_n+b_n)$ son $n$ enteros consecutivos.
Problema 5
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$(x^2-y^2)f(xy)=xf(x^2y)-yf(xy^2)$$para todos $x,y$ números reales.
Problema 6
Uri tiene $99$ bolsas vacías y una cantidad ilimitada de pelotas, donde el peso de cada pelota es un número de la forma $3^n$ donde $n$ es un entero que puede variar de una pelota a otra pelota (se permiten exponentes enteros negativos, como por ejemplo, $3^{-4}=\dfrac{1}{81}$, y el exponente $0$, donde $3^0=1$). Uri eligió una cantidad finita de pelotas y las distribuyó en las bolsas de manera que todas las bolsas quedaron con el mismo peso total y no sobró ninguna pelota. Se sabe que Uri eligió a lo más $k$ pelotas del mismo peso. Hallar el menor valor posible de $k$.