Problema 1
Demostrar que en todo triángulo sin ángulos rectos y no degenerado el producto y la suma de las tangentes de los tres ángulos son iguales.
Nota: Decimos que un triángulo es
no degenerado si sus tres vértices no son colineales.
Problema 2
Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continua. Probar que si $f\circ f$ tiene un punto fijo entonces $f$ tiene un punto fijo.
Nota: Un punto $a$ es un
punto fijo de una función $g$ si $g(a)=a$.
Problema 3
Se considera el conjunto $\mathcal{A}$ de todos los números naturales de cinco cifras cuya representación decimal se obtiene permutando los dígitos $1,2,3,4,5$. Probar que $\mathcal{A}$ puede partirse en dos subconjuntos de manera que la suma de los cuadrados de los números en cada uno de ellos sea la misma.
Problema 4
Dado un rombo, construir con regla y compás los focos de la elipse tangente a sus cuatro lados en sus puntos medios.
Nota: Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Problema 5
Sean $A,B\in \mathbb{R}^{n\times n}$ simétricas y semidefinidas positivas. Demostrar que$$\frac{1}{n}\operatorname{tr}(AB)\geq (\det (A)\det (B))^\frac{1}{n},$$donde $\operatorname{tr}(A)$ denota la
traza de la matriz $A$, es decir, la suma de los elementos en su diagonal.
Nota: Las matrices $A$ y $B$ son simétricas, de $n\times n$, con entradas reales, y todos sus autovalores son números reales no negativos.
Problema 6
Demostrar que no existe una función $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ holomorfa no constante que tome valores reales en dos rectas que se intersecan en un ángulo irracional medido en grados.
Nota: Una función $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ se dice
holomorfa si es diferenciable en todo punto del plano complejo $\mathbb{C}$ (notemos que al tomar derivada lo hacemos con respecto a la variable compleja "$z$").