Problema 1
Para cada entero positivo $n$, denotamos $d(n)$ a la cantidad de divisores positivos de $n$. Demostrar que para todo par de enteros positivos $(a,b)$ se cumple que
$$d(a)+d(b)\leq d(\text{mcd}(a,b))+d(\text{mcm}(a,b))$$
y determinar los pares de enteros positivos $(a,b)$ para los cuales se cumple la igualdad.
Nota: $\text{mcd}(a,b)$ es el máximo común divisor de $a$ y $b$, y $\text{mcm}(a,b)$ es el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$.
Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente. Dado un punto $D$ en el interior del segmento $BC$ con $DB<DC$, sean $P$ y $Q$ las intersecciones de $DM$ y $DN$ con $AC$ y $AB$ respectivamente. Sea $R\neq A$ la intersección del circuncírculo del triangulo $PAQ$ con el circuncírculo del triangulo $NAM$. Si $K$ es el punto medio de $AR$, demostrar que $\angle MKN=2\angle BAC.$
Problema 3
Sea $O$ un punto fijo del plano. Se tienen $2024$ puntos rojos, $2024$ puntos amarillos y $2024$ puntos verdes en el plano, en donde no hay tres puntos colineales y todos son distintos de $O$. Se sabe que para cualesquiera dos colores, la envolvente convexa de los puntos de dichos colores contiene a $O$ (en sus lados o en su interior). Decimos que un punto rojo, un punto amarillo y un punto verde forman un triángulo
boliviano si dicho triángulo contiene al punto $O$ (en sus lados o en su interior). Determinar el mayor entero positivo $k$ tal que sin importar como se ubiquen los puntos, siempre hay al menos $k$ triángulos bolivianos.
Nota: La envolvente convexa de un conjunto finito $S$ de puntos en el plano, es aquel polígono convexo que contiene a todos los puntos de $S$ (en sus lados o en su interior) y que tiene todos sus vértices en $S$.
Problema 4
Se colorean de rojo algunos puntos del plano de manera que si $P$ y $Q$ son dos puntos rojos y $X$ es un punto tal que el triángulo $PQX$ tiene ángulos de $30^\circ ,60^\circ ,90^\circ$ (en algún orden) entonces $X$ también es rojo. Si los vértices $A$, $B$ y $C$ de un triángulo son todos rojos, demostrar que el baricentro de $ABC$ también es rojo.
Nota: El
baricentro de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.
Problema 5
Sea $n\geq 2$ un entero y sean $a_1,\ldots ,a_n$ enteros positivos fijos (no necesariamente distintos) de manera que ningún entero mayor a $1$ los divida a todos. En un pizarrón están escritos los números $a_1,\ldots ,a_n$ junto con un entero positivo $x$. Un movimiento consiste en escoger dos números $a>b$ de los $n+1$ números del pizarrón y reemplazarlos por $a-b$ y $2b$. Encontrar todos los valores posibles de $x$, en función de $a_1,\ldots ,a_n$, para los que es posible lograr que, luego de una cantidad finita de movimientos (posiblemente ninguno), todos los números escritos en el pizarrón sean iguales.
Problema 6
Determinar todos los conjuntos infinitos $A$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: Si $a,b\in A$ y $a\geq b$ entonces $\left \lfloor \dfrac{a}{b}\right \rfloor \in A$.
Nota: $\lfloor x\rfloor$ denota al mayor entero menor o igual que $x$.