Problema 1
Demostrar que existen infinitos enteros positivos $a,b,c,d$ tales que$$ab+1,\quad bc+16,\quad cd+4,\quad da+9$$sean cuadrados perfectos.
Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo. Sean $A_1$ y $A_2$ puntos en el lado $BC$, sean $B_1$ y $B_2$ puntos en el lado $CA$, y sean $C_1$ y $C_2$ puntos en el lado $AB$, tales que $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ es un hexágono convexo y tales que $B$, $A_1$, $A_2$ y $C$ están ubicados en ese orden en el lado $BC$.
Decimos que los triángulos $AB_2C_1$, $BA_1C_2$ y $CA_2B_1$ son
plegables si existe un triángulo $PQR$ y existen puntos $X$, $Y$ y $Z$ en los lados $QR$, $RP$ y $PQ$, respectivamente tales que el triángulo $AB_2C_1$ sea congruente en ese orden al triangulo $PYZ$, el triángulo $BA_1C_2$ sea congruente en ese orden al triangulo $QXZ$ y el triángulo $CA_2B_1$ sea congruente en ese orden al triangulo $RXY$.
Demostrar que los triángulos $AB_2C_1$, $BA_1C_2$ y $CA_2B_1$ son plegables si y solamente si los baricentros de los triangulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ coinciden.
Nota: El triángulo $FGH$ es congruente en ese orden al triángulo $IJK$ si $FG=IJ$, $GH=JK$ y $HF=KI$.
Problema 3
Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que $3^n-2^n-1$ sea un cuadrado perfecto.
Problema 4
Para cada entero positivo $N$ con un número par $2k$ de dígitos, el número
intercambiado de $N$ es el número que se obtiene cuando pasamos los primeros $k$ dígitos de $N$ al final, sin cambiar el orden.
Por ejemplo, si $N = 123456$, el número formado por la primera mitad de los dígitos es $123$, y el número formado por la segunda mitad es $456$ y el número intercambiado de $N$ es $456123$; si $N = 2304$, su número intercambiado es $423$.
Un entero positivo $C$ es llamado
cearense si satisface las siguientes tres condiciones:
- $C$ tiene un número par de dígitos.
- El número formado por la primera mitad de los dígitos de $C$ y el número formado por la segunda mitad de los dígitos de $C$ son coprimos.
- $C$ divide al intercambiado de $C$.
Determinar los dos números cearenses más pequeños.
Nota: Dos números enteros son coprimos si su máximo común divisor es $1$.
Problema 5
Una permutación de $\{1, 2, \dots, n\}$ es
mágica si cada elemento $k$ de ella tiene al menos $\left\lfloor \dfrac{k}{2} \right\rfloor$ números menores que él a su izquierda.
Por ejemplo, $(1, 3, 4, 2, 5)$ es mágica; $(1, 5, 2, 3, 4)$ no es mágica, ya que el $5$ no tiene al menos $\left\lfloor \dfrac{5}{2} \right\rfloor = 2$ números menores que él a su izquierda.
Para cada $n$, encontrar el número de permutaciones mágicas de $\{1, 2, \dots, n\}$.
Nota 1: $\left\lfloor x \right\rfloor$ denota al mayor entero menor o igual que $x$. Por ejemplo, $\left\lfloor 3.5 \right\rfloor = 3$ y $\left\lfloor 20 \right\rfloor = 20$.
Nota 2: Una permutación de $\{1, 2, \dots, n\}$ es una manera de listar los elementos de dicho conjunto en un cierto orden. Por ejemplo, $(1, 2, 3)$, $(1, 3, 2)$, $(2, 1, 3)$, $(2, 3, 1)$, $(3, 1, 2)$, $(3, 2, 1)$ son todas las permutaciones del conjunto $\{1, 2, 3\}$.
Problema 6
En un tablero de $8 \times 8$ hay $64$ fichas iguales, una en cada casilla. Arnaldo y Bernaldo se ubican en un mismo lado del tablero y juegan alternadamente, comenzando Arnaldo. En su turno, el jugador elige una ficha y la mueve, o una casilla para la derecha $\rightarrow$ o una casilla para arriba $\uparrow$ o una casilla diagonalmente para arriba a la derecha $\nearrow$. Si la ficha se mueve a una casilla ya ocupada, ambas fichas son retiradas del tablero. El jugador que no puede realizar ningún movimiento, pierde.
¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora?