Problema 1
Una
potencia de $2$ es un número de la forma $2^k$ donde $k$ es un entero no negativo. Por ejemplo, las tres menores potencias de $2$ son $2^0=1$, $2^1=2$ y $2^2=4$. Un número es llamado
especial cuando la suma de sus dígitos es una potencia de $2$. Por ejemplo, $2024$ es especial, pues $2+0+2+4=8=2^3.$
Decimos que un número
supera a otro cuando el primero es mayor que el segundo y la suma de los dígitos del primero es mayor que la suma de los dígitos del segundo. Por ejemplo, $2029$ supera $2024$, pues $2029>2024$ y $2+0+2+9>2+0+2+4$.
- ¿Cuál es el menor entero positivo que es especial y supera $2024$?
- ¿Cuál es el menor entero positivo que es especial y supera la respuesta correcta del ítem anterior?
Problema 2
Al colocar algunas piezas de ajedrez en un tablero de $3\times 3$, decimos que esta configuración es
completa cuando cada uno de los $9$ cuadraditos está ocupado por exactamente una pieza o está siendo atacado por al menos una de las piezas. No está permitido colocar más de una pieza en un mismo cuadradito.
En el primer ejemplo a continuación, tenemos una configuración completa con $3$ torres. En el segundo, una configuración que no es completa usando $3$ torres.
- ¿Cuál es la cantidad mínima de caballos necesarios para hacer una configuración completa en un tablero de $3\times 3$ solo con caballos? Recuerde mostrar un ejemplo con este número mínimo de caballos y demostrar que no existe una configuración completa con menos caballos.
- ¿Cuántas configuraciones completas diferentes hay en un tablero de $3\times 3$ usando solo una torre y dos caballos? Configuraciones obtenidas con rotaciones o reflexiones son consideraras diferentes. Por ejemplo, las siguientes cuatro configuraciones se consideran distintas
Problema 3
En la siguiente figura, $ABCDEFGH$ es un octógono regular de lado $6$ cm y centro $O$. Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $CD$ respectivamente. El punto $T$ es la intersección de las rectas $AB$ y $CD$. De este modo, $OMTN$ es un cuadrado. Además, las longitudes de $BP$ y $CQ$ son iguales a $5$ cm. Se sabe que un octógono regular tiene ángulos internos de medida $135^\circ$ y todos sus lados de misma longitud.
- Determine la medida del segmento $MP$.
- Determine el cuadrado de la medida del segmento $BT$, o sea, $BT^2$.
- Determine el cuadrado de la medida del segmento $PQ$, o sea, $PQ^2$.
Problema 4
Considere una secuencia cuyo primer término es un entero positivo dado $N > 1$. Considere la factorización de $N$ en números primos. Si $N$ es una potencia de $2$, la secuencia está formada por un solo término: $N$. En caso contrario, el segundo término de la secuencia se obtiene intercambiando el factor primo más grande $p$ de $N$ por $p + 1$ en la factorización en primos. Si el nuevo número no es una potencia de $2$, repetimos el mismo procedimiento con él, acordándonos de factorizarlo nuevamente en números primos. De lo contrario, la secuencia numérica finaliza. Y así sucesivamente.
Por ejemplo, si el primer término de la secuencia es $N=300=2^2\cdot 3\cdot 5^2$, como el mayor factor primo es $p = 5$, el segundo término es $2^2\cdot 3 \cdot (5 + 1)^2=2^4\cdot 3^3$. Repitiendo el procedimiento, el mayor factor primo del segundo término es $p=3$ y entonces el tercer término es $2^4\cdot (3 + 1)^3 = 2^{10}$. Como obtuvimos una potencia de $2$, la secuencia tiene $3$ términos: $2^2\cdot 3\cdot 5^2$, $2^4\cdot 3^3$ y $2^{10}$.
- ¿Cuántos términos tiene la secuencia cuyo primer término es $N = 2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot19 \cdot 23$?
- Muestre que si un factor primo $p$ deja resto $1$ el la división por $3$, entonces $\frac{p+1}{2}$ es un número entero que tambien deja resto $1$ en la división por $3$.
- Encuentre un término inicial $N$ menor que $1.000.000$ (un millón) de modo que la secuencia que comienza con $N$ tenga exactamente $11$ términos.
Problema 5
Un campeonato es realizado entre seis equipos de fútbol, en el que cada uno juega con cada uno de los otros equipos exactamente una vez. En un partido de fútbol, el ganador obtiene tres puntos y el perdedor obtiene cero puntos; si el partido termina en empate, ambos equipos ganan un punto. Se sabe que, al final del campeonato, los seis equipos obtuvieron puntajes diferentes. ¿Cuál es el menor valor posible de la cantidad de puntos del equipo que hizo más puntos?