Problema 1
Considere una secuencia cuyo primer término es un entero positivo dado $N > 1$. Considere la factorización de $N$ en números primos. Si $N$ es una potencia de $2$, la secuencia está formada por un solo término: $N$. En caso contrario, el segundo término de la secuencia se obtiene intercambiando el factor primo más grande $p$ de $N$ por $p + 1$ en la factorización en primos. Si el nuevo número no es una potencia de $2$, repetimos el mismo procedimiento con él, acordándonos de factorizarlo nuevamente en números primos. De lo contrario, la secuencia numérica finaliza. Y así sucesivamente.
Por ejemplo, si el primer término de la secuencia es $N=300=2^2\cdot 3\cdot 5^2$, como el mayor factor primo es $p = 5$, el segundo término es $2^2\cdot 3 \cdot (5 + 1)^2=2^4\cdot 3^3$. Repitiendo el procedimiento, el mayor factor primo del segundo término es $p=3$ y entonces el tercer término es $2^4\cdot (3 + 1)^3 = 2^{10}$. Como obtuvimos una potencia de $2$, la secuencia tiene $3$ términos: $2^2\cdot 3\cdot 5^2$, $2^4\cdot 3^3$ y $2^{10}$.
- ¿Cuántos términos tiene la secuencia cuyo primer término es $N = 2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot19 \cdot 23$?
- Muestre que si un factor primo $p$ deja resto $1$ el la división por $3$, entonces $\frac{p+1}{2}$ es un número entero que tambien deja resto $1$ en la división por $3$.
- Encuentre un término inicial $N$ menor que $1.000.000$ (un millón) de modo que la secuencia que comienza con $N$ tenga exactamente $11$ términos.
Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo escaleno. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$ respectivamente, y sea $D$ un punto cualquiera en el segmento $BC$. Las circunferencias circunscritas a los triángulos $BDF$ y $CDE$ intersecan a la reta $EF$ em $K\neq F$ y $L\neq E$ respectivamente, y se intersecan en $X\neq D$. El punto $Y$ está sobre la recta $DX$ de modo que $AY$ es paralelo a $BC$. Pruebe que los puntos $K$, $L$, $X$ y $Y$ están sobre una misma circunferencia.
Problema 3
Los números del $1$ al $100$ son colocados sin repetición en cada casilla de un tablero de $10\times 10$. Un
camino creciente de tamaño $k$ en este tablero es una secuencia de casillas $c_1$, $c_2$, $\dots$ , $c_k$ tal que, para cada $i = 2, 3, \dots , k$, las siguientes propiedades son satisfechas:
- las casillas $c_i$ y $c_{i−1}$ comparten un lado o un vértice;
- el número en $c_i$ es mayor que el número en $c_{i−1}$.
¿Cuál es el mayor entero positivo $k$ para el cual siempre podemos encontrar un camino creciente de tamaño $k$, independientemente de cómo estén ordenados los números del $1$ al $100$ en el tablero?
Problema 4
Un número es llamado
trilegal si sus dígitos pertenecen al conjunto $\{1, 2, 3\}$ y si es divisible por $99$. ¿Cuántos números trilegales tienen $10$ dígitos?
Problema 5
Esmeralda escoge dos enteros positivos distintos $a$ y $b$, con $b>a$, y escribe la ecuación $x^2-ax+b = 0$ en la pizarra. Si la ecuación posee raíces enteras positivas distintas $c$ y $d$, con $d > c$, ella escribe la ecuación $x^2-cx+d = 0$ en la pizarra. Ella repete el procedimiento siempre que obtenga raíces enteras positivas distintas. Si ella escribe una ecuación en la cual eso no ocurre, ella se detiene.
- Demuestre que Esmeralda puede elegir $a$ y $b$ para escribir exactamente $2024$ ecuaciones en la pizarra.
- ¿Cuál es el mayor número de ecuaciones que puede escribir sabiendo que uno de los números elegidos inicialmente es $2024$?
Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = BC$. Sea $D$ un punto sobre el segmento $AB$, $E$ un punto sobre el segmento $BC$ y $P$ un punto sobre el segmento $DE$, tal que $AD = DP$ y $CE = PE$. Sea $M$ el punto medio de $DE$. La recta paralela a $AB$ por $M$ interseca a $AC$ en $X$ y la recta paralela a $BC$ por $M$ interseca a $AC$ en $Y$. Las rectas $DX$ y $EY$ se intersecan en $F$. Demuestre que $FP$ es perpendicular a $DE$.