Problema 1
Sea $n$ un entero positivo de $k$ dígitos. Un número $m$ se dice
alero de $n$ si existen dígitos $a_1,a_2,\ldots ,a_k$ diferentes entre sí y distintos de cero, tales que $m$ es obtenido al sumarle al dígito de la posición $i$ de $n$ el dígito $a_i$ y ninguna suma sea mayor que $9$. Por ejemplo, si $n=2024$ y se escogen $a_1=2$, $a_2=1$, $a_3=5$ y $a_4=3$, entonces $m=4177$ es alero de $n$, pero no se puede obtener un alero de $n$ si se escogen $a_1=2$, $a_2=1$, $a_3=5$ y $a_4=6$ porque $4+6$ es mayor que $9$.
Determine el menor entero positivo $n$ múltiplo de $2024$ que tenga un alero que también sea múltiplo de $2024$.
Problema 2
Se tiene una fila con $2024$ casillas. Ana y Beto juegan alternadamente, comenzando con Ana. En su turno, cada jugador selecciona una casilla vacía y coloca un dígito en dicho espacio. Cuando se llenan las $2024$ casillas, se lee el número que se obtiene de izquierda a derecha, ignorando los posibles ceros iniciales. Beto gana si el número resultante es múltiplo de $99$, de lo contrario, gana Ana. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describirla.
Problema 3
Sean $ABC$ un triángulo, $H$ su ortocentro y $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $J$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ son los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. La recta $AD$ intersecta a $\Gamma$ nuevamente en el punto $P$. El circuncírculo del triángulo $EFP$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $Q$. Sea $K$ el segundo punto de intersección de $JH$ con $\Gamma$. Demuestre que los puntos $K$, $D$ y $Q$ son colineales.
Problema 4
Sean $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ la segunda intersección de $AI$ con $\Gamma$. La recta paralela a $BC$ por $I$ corta a $AB$ y a $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Las rectas $PD$ y $QD$ cortan a $BC$ en $E$ y $F$, respectivamente. Demostrar que los triángulos $IEF$ y $ABC$ son semejantes.
Problema 5
Sean $x$, $y$ numeros reales positivos cumpliendo las siguientes ecuaciones$$\left \{\begin{matrix}\sqrt{x}\left (2+\dfrac{5}{x+y}\right ) & = & 3, \\
\sqrt{y}\left (2-\dfrac{5}{x+y}\right ) & = & 2.
\end{matrix}\right .$$Encontrar el mayor valor de $x+y$.
Problema 6
Sean $n\geq 2$, $k\geq 2$ enteros positivos. Un gato y un ratón están jugando
Wim, que consiste en quitar piedras. Inician con $n$ piedras y las quitan por turnos alternadamente, empezando por el gato. En cada turno, se vale quitar $1$, $2$, $\dots$ o $k$ piedras y pierde quien ya no pueda quitar piedras en su turno.
A un mapache le parece muy aburrido Wim, y crea
Wim 2, que es Wim pero con la siguiente regla adicional:
No puedes quitar la misma cantidad de piedras que quitó tu oponente en el turno inmediatamente anterior.
Encontrar todos los valores de $k$ tales que para todo $n$ se cumple que el gato tiene la estrategia ganadora en Wim si y sólo si tiene la misma estrategia en Wim 2.