Problema 1
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB<AC$, sea $\Gamma$ su circuncírculo y sea $D$ el pie de la altura desde $A$ a $BC$. Se toma un punto $E$ sobre el segmento $BC$ tal que $CE=BD$. Sea $P$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto al vértice $A$. Demuestre que $PE$ es perpendicular a $BC$.
Problema 2
Danielle tiene un tablero de $m\times n$ casillas y lo quiere llenar con fichas compuestas por dos o más casillas unidas diagonalmente como las que se muestran, sin superposiciones ni dejar huecos:
a) Determine todas las parejas $(m, n)$ para las cuales es posible llenar el tablero.
b) Si es posible llenar un tablero de $m\times n$ casillas, determine el mínimo número de fichas que puede usar Danielle para llenarlo.
Nota: Se permite rotar las fichas.
Problema 3
Sea $M$ un conjunto no vacío de enteros positivos y sea $S_M$ la suma de todos los elementos de $M$. Definimos el
tlacoyo de $M$ como la suma de los dígitos de $S_M$. Por ejemplo, si $M=\left\{2, 7, 34\right\}$, entonces $S_M=2+7+34=43$ y el tlacoyo del conjunto $M$ es $4+3=7$.
Demuestre que para todo entero positivo $n$, existe un conjunto $M$ de $n$ enteros positivos distintos, tal que todos sus subconjuntos no vacíos tienen el mismo tlacoyo.
Problema 4
El $n$-
factorial de un entero positivo $x$ es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a $x$ que son congruentes a $x$ módulo $n$. Por ejemplo, para el número $16$, su $2$-factorial es $16\times 14\times 12\times 10\times 8\times 6\times 4\times 2$, su $3$-factorial es $16\times 13\times 10\times 7\times 4\times 1$, y su $18$-factorial es $16$.
Un entero positivo es
olímpico si tiene $n$ dígitos, todos distintos de cero, y es igual a la suma de todos los $n$-factoriales de sus dígitos. Determine todos los enteros positivos olímpicos.
Problema 5
Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(f(x+y)-f(x))+f(x)f(y)=f(x^2)-f(x+y),$$para todos los números reales $x,y$.
Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo y sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados opuestos a los vértices $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sean $R$ su circunradio y $r$ su inradio. Supongamos que $b+c=2a$ y $R=3r$. El excírculo relativo al vértice $A$ corta al circuncírculo del triángulo $ABC$ en los puntos $P$ y $Q$. Sea $U$ el punto medio del lado $BC$. Demuestre que $U$ es el baricentro del triángulo $QIP$.