Problema 1
Pedro escribe un número entero positivo en el pizarrón. Cada minuto Basilio multiplica por $2$ o por $3$ el último número escrito y escribe el resultado en el pizarrón. Determinar si Pedro puede elegir el número inicial de manera que, no importa cuál sea la estrategia de Basilio, en todo momento la cantidad de números del pizarrón que comienzan con $1$ o con $2$ sea mayor que la cantidad de números del pizarrón que comienzan con $7$, $8$ o $9$.
Problema 2
Un tablero cuadriculado de $20\times20$ se divide en $200$ dominós (rectángulos de $2\times2$ que abarcan $2$ casillas cada uno). Demostrar que hay una recta que contiene los centros de por lo menos diez de esos dominós.
Problema 3
Se sabe que cada paralelepípedo rectángulo tiene la siguiente propiedad: el cuadrado de su volumen es igual a la multiplicación de las áreas de tres caras que comparten un vértice (entre las tres). Determinar si hay algún paralelepípedo con esa misma propiedad pero que no sea rectángulo.
Problema 4
Determinar si existe una sucesión infinita de números reales $a_1,a_2,a_3,\ldots$ tal que $a_1=1$ y para todo número entero positivo $k$ se tiene la igualdad $a_k=a_{2k}+a_{3k}+a_{4k}+\dots$.
Problema 5
Se da una circunferencia $\omega_1$ y otra circunferencia $\omega_2$ en su interior. Se elige una nueva circunferencia $\omega_3$ que es tangente a las dos circunferencias anteriores y las dos tangencias son tangencias interiores. Se unen los dos puntos de tangencia mediante un segmento. Se traza una recta tangente a $\omega_2$ que pasa por el segundo punto de intersección del segmento mencionado y la circunferencia $\omega_2$. Se determina así una cuerda de la circunferencia $\omega_3$. Demostrar que los extremos de estas cuerdas (que se obtienen con todas las posibles elecciones de $\omega_3$) pertenecen a una circunferencia fija.
Problema 6
El castillo de Merlín tiene $100$ habitaciones y $1000$ pasillos. Cada pasillo une dos habitaciones. Cada par de habitaciones están unidas como mucho por un pasillo. Merlín plantea un desafío a un grupo de sabios. Les da un plano del castillo y les informa las reglas. Los sabios deben distribuirse en las habitaciones como deseen. Cada minuto Merlín elegirá un pasillo y uno de los sabios tendrá que recorrerlo desde la habitación de uno de sus extremos hasta la habitación del otro extremo. Merlín gana si en las dos habitaciones que son extremos del pasillo elegido no hay sabios.
Diremos que un número $m$ es el
número mágico del castillo si $m$ sabios pueden ponerse de acuerdo antes del desafío y distribuirse de manera tal que Merlín nunca gane y $m$ sea el mínimo número posible para esto. Determinar los posibles valores del número mágico. (Merlín y todos los sabios siempre conocen la ubicación de todos los sabios)
Problema 7
Varias servilletas de igual tamaño y con forma de círculos unitarios están colocadas sobre una mesa (posiblemente con superposiciones). Determinar si siempre es posible clavar varios clavos (del diámetro de un punto) de modo que todas las servilletas queden unidas con el mismo número de clavos. (Los clavos no se pueden ubicar en los bordes de las servilletas.)