Archivo de Enunciados • Listas de problemas • Entrenamiento Rioplatense • 2022 • Nivel 1


Problema 1
Sean $m$ y $n$ enteros positivos y $x,y,z\in[0,1]$ números reales. Demostrar que $$0\leqslant x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}-x^my^n-y^mz^n-z^mx^n\leqslant1$$ y hallar cuándo se verifica la igualdad.

Problema 2
Sea $k$ un número natural con $2\leqslant k\leqslant2016$. Una sucesión $x_1,x_2,\ldots ,x_k$ de números del intervalo $(0,1)$ es especial si para toda representación $n_1+n_2+\dots+n_k=2016$ de $2016$ con $n_i\in\mathbb N$ hay un índice $i=1,2,\ldots,k$ tal que $x_in_i$ es un entero. Hallar todos los $k$ para los que existe una sucesión especial de longitud $k$, y determinar todas las sucesiones especiales.

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo no equilátero tal que $\angle A=60^\circ$. Sean $D$ y $E$ los puntos de intersección de la recta de Euler del triángulo $ABC$ y los lados del ángulo $\angle BAC$. Demostrar que el triángulo $ADE$ es equilátero.

Problema 4
Ariel tiene una lista de varios subconjuntos de $10$ elementos de $\{1,2,\ldots,10\}$. Él le anuncia a Bianca: "Si eliges cualquier subconjunto de $10$ elementos de $\{1,2,\ldots,10\}$, será disjunto con al menos un subconjunto de mi lista." ¿Cuál es la mínima cantidad de subconjuntos que puede tener la lista de Ariel?

Problema 5
Sea $n$ un entero mayor que $2$ y consideramos el conjunto $A=\{2^n-1,3^n-1,\ldots,(n-1)^n-1\}$. Si se sabe que $n$ no divide a ningún elemento de $A$, demostrar que $n$ es un número libre de cuadrados. ¿Es necesariamente $n$ un número primo?

Problema 6
Se tiene un tablero de $m\times n$ y tres colores. Queremos colorear cada lado de cada casilla con uno de los tres colores de modo que cada casilla tenga dos lados de un color y los otros dos lados de un segundo color. ¿Cuántas de estas coloraciones son posibles?

Problema 7
Sean $a,b,c$ números positivos con $abc\geqslant1$. Probar que $$\dfrac{1}{a^3+2b^3+6}+\dfrac{1}{b^3+2c^3+6}+\dfrac{1}{c^3+2a^3+6}\leqslant\dfrac{1}{3}.$$

Problema 8
Sea $P$ uno de los puntos comunes de las circunferencias $\gamma_1$ y $\gamma_2$ que se cortan en dos puntos. Sea $AB$ el diámetro de $\gamma_1$ perpendicular al radio de $\gamma_2$ con extremo $P$; análogamente sea $CD$ el diámetro de $\gamma_2$ perpendicular al radio de $\gamma_1$ con extremo $P$. Demostrar que los puntos $A$, $B$, $C$, y $D$ pertenecen a una circunferencia.

Problema 9
Para cada $n=1,2,\ldots$ sean $P_n=(n+1)(n+2)\ldots(n+2016)$, $Q_n=\text{mcm}(n+1,n+2,\ldots,n+2016)$ (el mínimo común múltiplo de $n+1,n+2,\ldots, n+2016$). Decidir si la razón $\dfrac{P_n}{Q_n}$ puede tomar valores arbitrariamente grandes.

Problema 10
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y denotamos $E$ y $F$ a los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ respectivamente. Si $\{G\}=AB\cap CD$ y $\{H\}=AD\cap BC$, probar que:
a) los puntos de intersección de las bisectrices de $\angle AHB$ y $\angle AGD$ con los lados del cuadrilátero $ABCD$ son los vértices de un rombo;
b) el centro de este rombo pertenece a la recta $EF$.

Problema 11
Sean $x$ e $y$ números reales no nulos tales que $x^3+y^3+3x^2y^2=x^3y^3$. Determinar el conjunto de valores posibles de $E=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$.

Problema 12
Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que $n\geqslant2k$. Se tiene una fila de $n$ casillas y en cada casilla se va a escribir una letra $A$ o una letra $B$, de tal forma que haya exactamente $k$ letras $A$ que tienen a su derecha una letra $B$. Determine en función de $n$ y $k$ de cuántas formas se puede hacer esto.

Problema 13
Sea $ABC$ un triángulo. La circunferencia exinscrita correspondiente al vértice $C$ toca a las prolongaciones de los lados $AC$ y $BC$ en $S$ y $T$ respectivamente. La circunferencia exinscrita correspondiente al vértice $B$ toca al lado $AC$ y a la prolongación del lado $BC$ en $U$ y $V$ respectivamente. Demostrar que las rectas $ST$, $UV$ y la bisectriz exterior del ángulo $\angle A$ se cortan en un punto.

Problema 14
Sea $n$ un número natural fijo. Hallar la mayor constante $C_n$ con la siguiente propiedad: Todos $2n$ números del intervalo $[100,101]$ se pueden dividir en dos grupos con sumas $S_1$ y $S_2$, $S_1\geqslant S_2$, tales que $\dfrac{S_2}{S_1}\geqslant C_n$.

Problema 15
En cada casilla de un tablero de $n\times n$ hay escrito un entero positivo. Una movida consiste en elegir un cuadrado de $2\times2$ y sumarle $1$ a exactamente tres de los cuatro números escritos en el cuadrado elegido. Diremos que un entero positivo $n$ es bueno si comenzando desde cualesquiera números iniciales, hay una sucesión de movidas que hace que todos los números del tablero sean iguales.
a) Probar que $n=6$ no es bueno.
b) Probar que $n=4$ y $n=1024$ son buenos.

Problema 16
Se dan $2016$ puntos y varios segmentos que los unen. Cualesquiera $2014$ puntos se pueden dividir en $1007$ pares de modo que los puntos de cada par estén unidos por un segmento. Dar un ejemplo de tal configuración con el número mínimo de segmentos.

Problema 17
Sea $ABC$ un triángulo con bisectrices de longitud $l_a,l_b,l_c$ correspondientes a los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Sea $A'$ el punto de tangencia del lado $BC$ con su respectivo excírculo; $B'$ y $C'$ se definen de forma análoga. Hallar el mayor número $r$ tal que la desigualdad $$\dfrac{l_a}{AA'}+\dfrac{l_b}{BB'}+\dfrac{l_c}{CC'}>r$$ se satisface para todo triángulo $ABC$.

Problema 18
Determinar todos los números naturales $k\geqslant3$ con la siguiente propiedad: Existe un $n\in\mathbb N$ que se puede representar como la suma de $k$ enteros positivos consecutivos, pero no se puede representar como suma de $\ell$ enteros positivos consecutivos para todo $\ell\in [3,k)$.

Problema 19
Sea $ABC$ un triángulo escaleno de incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\Omega$. Sea $\omega$ la circunferencia tangente a las rectas que contienen a los lados $AB$ y $AC$ en $Q$ y $P$ respectivamente, y también tangente externamente a la circunferencia $\Omega$ en $T$. Sean $M$ el punto medio de $PQ$ y $T'$ la segunda intersección de la recta $TM$ con $\omega$. Si las tangentes a $\omega$ que pasan por $T$ y $T'$ se cortan en $U$, demostrar que las rectas $AU$, $BM$ y $CI$ son concurrentes.

Problema 20
Las alturas $AA_1,BB_1,CC_1$ del triángulo acutángulo $ABC$ se cortan en $H$. Sea $A_2$ el simétrico de $A$ con respecto a la recta $B_1C_1$ y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$.
a) Demostrar que los puntos $O,A_2,B_1,C$ son concíclicos.
b) Demostrar que los puntos $O,H,A_1,A_2$ son concíclicos.

Problema 21
Tres números reales $a,b,c$ son tales que $a,b\geqslant1\geqslant c\geqslant0$ y $a+b+c=3$.
a) Demostrar que $2\leqslant ab+bc+ca\leqslant3$.
b) Demostrar la desigualdad $\dfrac{24}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{25}{ab+bc+ca}\geqslant14$ y determinar los casos de igualdad.

Problema 22
Hallar todas las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos que satisfacen $x+y=9269$ y $(x+z)(5y-z)=z^2$.

Problema 23
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. El incírculo $\omega$ del triángulo toca a los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. La recta perpendicular trazada por $C$ a $BC$ corta a $EF$ en $M$, y de modo similar, la recta perpendicular trazada por $B$ a $BC$ corta a $EF$ en $N$. La recta $DM$ corta nuevamente a $\omega$ en $P$, y la recta $DN$ corta nuevamente a $\omega$ en $Q$. Probar que $DP=DQ$.

Problema 24
Se tienen un polígono regular de $13$ lados y un polígono regular de $17$ lados con un número natural escrito en cada uno de sus vértices. La suma de los números en el polígono de $13$ lados es igual a la suma en el polígono de $17$ lados e igual a $S$. Hallar todos los $S\geqslant17$ para los cuales se satisface con certeza la siguiente condición: La suma de varios números consecutivos del polígono de $13$ lados es igual a la suma de varios números consecutivos del polígono de $17$ lados. (Aquí "varios" significa "al menos uno pero no todos".)

Problema 25
Hay $n$ fichas en la casilla izquierda de una franja de $1\times \ell$. Una movida legítima es mover una ficha cualquiera $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ o $6$ posiciones hacia la derecha. Los jugadores $A$ y $B$ hacen movidas por turnos; $A$ juega primero. El ganador es el que ubica una ficha en la casilla del extremo derecho. Determinar quién tiene estrategia ganadora en función de $n$ y $\ell$, $\ell >7$.