Problema 1
Se tienen $3m$ bolillas numeradas de $1$ a $m$, tres de cada número: $$1,1,1,2,2,2,3,3,3,\ldots,m,m,m.$$Se distribuyen todas las bolillas en $8$ cajas de modo que, al elegir dos cajas al azar, hay (al menos) una bolilla de una de las cajas que es igual a una bolilla de la otra caja. Determinar el menor valor posible de $m$.
Aclaración: Las cantidades de bolillas de las cajas pueden ser diferentes.
Problema 2
En las casillas de un tablero de $7\times7$ están escritos los números enteros de $1$ a $49$ inclusive con la propiedad de que la multiplicación de los $7$ números de la primera fila, contando desde arriba, es igual a la multiplicación de los $7$ números de la primera fila, contando desde abajo; la multiplicación de los números de la segunda fila, contando desde arriba, es igual a la multiplicación de los números de la segunda fila, contando desde abajo y la multiplicación de los números de la tercera fila, contando desde arriba es igual a la multiplicación de los números de la tercera fila, contando desde abajo.
- Demostrar que en el tablero hay una fila tal que la suma de sus $7$ números es un número primo.
- Dar un ejemplo de un tal tablero.
Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$. La circunferencia que pasa por $B$, $H$ y $C$ corta a las rectas $AC$ y $AB$ por segunda vez en $P$ y $Q$ respectivamente. Demostrar que $H$ es el centro de la circunferencia que pasa por $A$, $P$ y $Q$.
Problema 4
Hallar el mayor entero positivo $k$ tal que en toda sucesión de $2025$ dígitos que pueden ser exclusivamente $1$ y $2$ se pueden elegir al menos $k$ términos consecutivos (una seguidilla) que formen una sucesión capicúa.
Aclaración: Una sucesión es
capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.
Problema 5
Diremos que un primo positivo impar $p$ es
bueno si la suma de todos los primos positivos menores que $p$ es múltiplo de $p$. Determinar si puede haber dos primos consecutivos buenos.
Aclaraciones: Decimos que $p$ y $q$ son primos consecutivos si son primos y no hay ningún primo entre ellos. Por ejemplo, $5$ y $7$ son primos consecutivos y también lo son $23$ y $29$. El número $1$ no es primo.
Problema 6
Llamamos
fortaleza a cualquier conjunto finito de casillas de $1\times 1$, en un tablero infinito cuadriculado, con la propiedad de que se puede viajar de cada casilla de la fortaleza a cualquier otra casilla de la fortaleza pasando siempre por casillas con un lado común. Las
paredes de la fortaleza son los segmentos de longitud $1$ que separan una casilla de la fortaleza de una casilla que no es de la fortaleza. El área $A$ de la fortaleza es la cantidad de casillas que contiene. El perímetro $P$ de la fortaleza es la cantidad de paredes de la fortaleza. En la figura se muestran dos fortalezas, con las correspondientes áreas y perímetros.
En algunas casillas de la fortaleza puede haber un guardia, que vigila todas las casillas hacia arriba, hacia abajo hacia la izquierda y hacia la derecha, mientras no haya paredes que bloqueen su visión (cada guardia vigila también la casilla sobre la que está parado). Por ejemplo, un guardia parado en la casilla con un punto de la primera fortaleza de la figura vigila seis casillas, incluyendo aquella en la que se encuentra.
- Determinar el menor $k$ para el cual $k$ guardias son suficientes para vigilar toda la fortaleza cualquiera sea la fortaleza de perímetro $P\leq 1600$.
- Determinar el menor $k$ para el cual $k$ guardias son suficientes para vigilar toda la fortaleza cualquiera sea la fortaleza de área $A\leq 1600$.